Упр.721 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Доказать, что если натуральное число не делится на $$3$$, то остаток от деления квадрата этого числа на $$3$$ равен $$1$$.

Если натуральное число не делится на $$3$$, то оно при делении на $$3$$ даёт остаток $$1$$ или $$2$$. Значит, его можно записать в одном из двух видов:

$$n=3k+1 \quad \text{или} \quad n=3k+2,$$

где $$k$$ — натуральное число или целое неотрицательное число.

Рассмотрим оба случая.

1) Если $$n=3k+1,$$ то

$$n^2=(3k+1)^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1.$$

Значит, при делении $$n^2$$ на $$3$$ остаток равен $$1$$.

2) Если $$n=3k+2,$$ то

$$n^2=(3k+2)^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1.$$

Значит, и в этом случае при делении $$n^2$$ на $$3$$ остаток равен $$1$$.

Следовательно, если натуральное число не делится на $$3$$, то квадрат этого числа при делении на $$3$$ даёт остаток $$1$$.

Ответ

Остаток от деления $$n^2$$ на $$3$$ равен $$1$$.