Упр.554 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Упростить выражение: 1) $$\left(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{2\sqrt{a}\sqrt{b}}{a-b}\right)\cdot\frac{a-2\sqrt{a}\sqrt{b}+b}{a+b}$$; 2) $$\left(\frac{1}{\sqrt{a}+a}-\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\cdot\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}$$; 3) $$\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\cdot\left(\frac{\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}-x}\right)$$; 4) $$\frac{m+2\sqrt{m}+1}{2\sqrt{m}}\cdot\left(\frac{2\sqrt{m}}{\sqrt{m}-1}-\frac{4\sqrt{m}}{m-1}\right)$$.

1. $$\left(\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b}+\frac{2\sqrt{ab}}{a-b}\right)\cdot\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{a+b}$$
   Так как
   $$a-b=(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b),$$
   то
   $$\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b}+\frac{2\sqrt{ab}}{a-b} =\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^2+2\sqrt{ab}}{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)}.$$
   Тогда
   $$\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^2+2\sqrt{ab}}{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)}\cdot\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^2}{a+b}.$$
   Поскольку
   $$a-2\sqrt{ab}+b=(\sqrt a-\sqrt b)^2,\qquad a+b=(\sqrt a+\sqrt b)^2-2\sqrt{ab},$$
   после сокращения получаем
   $$\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b}.$$

2. $$\left(\frac{1}{\sqrt a+a}-\frac{\sqrt a}{\sqrt a+1}\right)\cdot\frac{\sqrt a}{\sqrt a-1}$$
   Вынесем $$\sqrt a$$:
   $$\frac{1}{\sqrt a(\sqrt a+1)}-\frac{\sqrt a}{\sqrt a+1} =\frac{1-a}{\sqrt a(\sqrt a+1)}.$$
   Тогда
   $$\frac{1-a}{\sqrt a(\sqrt a+1)}\cdot\frac{\sqrt a}{\sqrt a-1} =\frac{1-a}{(\sqrt a+1)(\sqrt a-1)} =\frac{1-a}{a-1}=-1.$$

3. $$\frac{\sqrt x}{1+\sqrt x}\cdot\left(\frac{\sqrt x}{1-\sqrt x}-\frac{1}{\sqrt x-x}\right)$$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{\sqrt x}{1-\sqrt x}-\frac{1}{\sqrt x-x} =\frac{\sqrt x\cdot\sqrt x-1}{\sqrt x(1-\sqrt x)} =\frac{x-1}{\sqrt x(1-\sqrt x)}.$$
   Тогда
   $$\frac{\sqrt x}{1+\sqrt x}\cdot\frac{x-1}{\sqrt x(1-\sqrt x)} =\frac{x-1}{(1+\sqrt x)(1-\sqrt x)} =\frac{x-1}{1-x}=-1.$$

4. $$\frac{m+2\sqrt m+1}{2\sqrt m}\cdot\left(\frac{2\sqrt m}{\sqrt m-1}-\frac{4\sqrt m}{m-1}\right)$$
   Заметим, что
   $$m+2\sqrt m+1=(\sqrt m+1)^2,\qquad m-1=(\sqrt m-1)(\sqrt m+1).$$
   Тогда
   $$\frac{2\sqrt m}{\sqrt m-1}-\frac{4\sqrt m}{m-1} =\frac{2\sqrt m(\sqrt m+1)-4\sqrt m}{(\sqrt m-1)(\sqrt m+1)} =\frac{2\sqrt m(\sqrt m-1)}{(\sqrt m-1)(\sqrt m+1)} =\frac{2\sqrt m}{\sqrt m+1}.$$
   Следовательно,
   $$\frac{(\sqrt m+1)^2}{2\sqrt m}\cdot\frac{2\sqrt m}{\sqrt m+1} =\sqrt m+1.$$

Ответ

1) $$\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b}$$
2) $$-1$$
3) $$-1$$
4) $$\sqrt m+1$$