Упр.507 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Найти область определения функции:

1. 1. $$y=\sqrt{(x-2)(x-3)}$$;
   2. $$y=\sqrt{x^2-6x}$$;
   3. $$y=\frac{1}{x^2-2\sqrt{2}x+2}$$;
   4. $$y=\frac{3}{2\sqrt{3}x-x^2+3}$$;
   5. $$y=\sqrt{\frac{(x-1)x}{x+5}}$$;
   6. $$y=\sqrt{\frac{x^2-9}{x^2-2x}}$$.

1. $$y=\sqrt{(x-2)(x-3)}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$(x-2)(x-3)\ge 0$$

   Отсюда:

   $$x\le 2 \text{ или } x\ge 3$$

   Ответ: $$D(y)=(-\infty;2]\cup[3;+\infty).$$

2. $$y=\sqrt{x^2-6x}$$

   Требуется:

   $$x^2-6x\ge 0$$

   $$x(x-6)\ge 0$$

   Следовательно,

   $$x\le 0 \text{ или } x\ge 6$$

   Ответ: $$D(y)=(-\infty;0]\cup[6;+\infty).$$

3. $$y=\frac{1}{x^2-2\sqrt{2}x+2}$$

   Знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$x^2-2\sqrt{2}x+2\ne 0$$

   $$x^2-2\sqrt{2}x+2=(x-\sqrt{2})^2$$

   Значит,

   $$x\ne \sqrt{2}$$

   Ответ: $$D(y)=(-\infty;\sqrt{2})\cup(\sqrt{2};+\infty).$$

4. $$y=\frac{3}{2\sqrt{3}x-x^2+3}$$

   Знаменатель не равен нулю:

   $$2\sqrt{3}x-x^2+3\ne 0$$

   $$x^2-2\sqrt{3}x-3\ne 0$$

   Найдём корни уравнения:

   $$D=(2\sqrt{3})^2+4\cdot 3=24$$

   $$x=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{24}}{2}=\frac{2\sqrt{3}\pm 2\sqrt{6}}{2}=\sqrt{3}\pm\sqrt{6}$$

   Следовательно,

   $$x\ne \sqrt{3}-\sqrt{6},\quad x\ne \sqrt{3}+\sqrt{6}$$

   Ответ: $$D(y)=(-\infty;\sqrt{3}-\sqrt{6})\cup(\sqrt{3}-\sqrt{6};\sqrt{3}+\sqrt{6})\cup(\sqrt{3}+\sqrt{6};+\infty).$$

5. $$y=\sqrt{\frac{(x-1)x}{x+5}}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — ненулевым:

   $$\frac{(x-1)x}{x+5}\ge 0,\quad x\ne -5$$

   Исследуя знаки множителей, получаем:

   $$-5<x\le 0 \text{ или } x\ge 1$$

   Ответ: $$D(y)=(-5;0]\cup[1;+\infty).$$

6. $$y=\sqrt{\frac{x^2-9}{x^2-2x}}$$

   Требуется:

   $$\frac{x^2-9}{x^2-2x}\ge 0,\quad x^2-2x\ne 0$$

   Разложим на множители:

   $$\frac{(x-3)(x+3)}{x(x-2)}\ge 0$$

   Критические точки: $$-3,\ 0,\ 2,\ 3.$$

   По знакам дроби получаем:

   $$x\le -3,\quad 0<x<2,\quad x\ge 3$$

   Ответ: $$D(y)=(-\infty;-3]\cup(0;2)\cup[3;+\infty).$$