Упр.433 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

С помощью графической иллюстрации определить фигуру, заданную системой уравнений:

1) $$\begin{cases}x^2+y^2=36,\\x-y=3;\end{cases}$$

2) $$\begin{cases}x^2+y^2=16,\\x+y=2;\end{cases}$$

3) $$\begin{cases}y=|x|,\\(x-1)^2+y^2=9;\end{cases}$$

4) $$\begin{cases}x^2+(y-2)^2=4,\\y=|x|.\end{cases}$$

1. $$\begin{cases} x^2+y^2=36,\\ x-y=3 \end{cases}$$

   Первое уравнение задаёт окружность с центром в точке $$O(0;0)$$ и радиусом $$R=6$$.

   Второе уравнение можно записать так: $$y=x-3$$. Это прямая, проходящая через точки $$(0;-3)$$ и $$(3;0)$$.

   Точки пересечения прямой и окружности:

   $$x^2+(x-3)^2=36$$

   $$2x^2-6x-27=0$$

   $$x=\frac{6\pm\sqrt{36+216}}{4}=\frac{6\pm\sqrt{252}}{4}=\frac{3\pm3\sqrt7}{2}$$

   Тогда

   $$y=x-3=\frac{-3\pm3\sqrt7}{2}$$

   Следовательно, фигура — две точки пересечения.

2. $$\begin{cases} x^2+y^2=16,\\ x+y=2 \end{cases}$$

   Первое уравнение задаёт окружность с центром в точке $$O(0;0)$$ и радиусом $$R=4$$.

   Второе уравнение: $$y=2-x$$ — прямая.

   Найдём точки пересечения:

   $$x^2+(2-x)^2=16$$

   $$2x^2-4x-12=0$$

   $$x^2-2x-6=0$$

   $$x=1\pm\sqrt7$$

   Тогда

   $$y=2-x=1\mp\sqrt7$$

   Фигура — две точки пересечения.

3. $$\begin{cases} y=|x|,\\ (x-1)^2+y^2=9 \end{cases}$$

   Уравнение $$y=|x|$$ задаёт ломаную из двух лучей: $$y=x$$ при $$x\ge 0$$ и $$y=-x$$ при $$x\le 0$$.

   Второе уравнение — окружность с центром $$C(1;0)$$ и радиусом $$R=3$$.

   Найдём точки пересечения.

   1) При $$x\ge 0$$: $$y=x$$, тогда

   $$(x-1)^2+x^2=9$$

   $$2x^2-2x-8=0$$

   $$x^2-x-4=0$$

   $$x=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$$

   Подходит только положительный корень:

   $$x=y=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$$

   2) При $$x\le 0$$: $$y=-x$$, тогда

   $$(x-1)^2+x^2=9$$

   $$2x^2-2x-8=0$$

   $$x^2-x-4=0$$

   Подходит отрицательный корень:

   $$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}, \qquad y=-x=\frac{\sqrt{17}-1}{2}$$

   Фигура — две точки пересечения.

4. $$\begin{cases} x^2+(y-2)^2=4,\\ y=|x| \end{cases}$$

   Первое уравнение задаёт окружность с центром $$C(0;2)$$ и радиусом $$R=2$$.

   Второе уравнение задаёт ломаную $$y=|x|$$.

   Найдём точки пересечения.

   1) При $$x\ge 0$$: $$y=x$$, тогда

   $$x^2+(x-2)^2=4$$

   $$2x^2-4x=0$$

   $$2x(x-2)=0$$

   $$x=0 \text{ или } x=2$$

   Получаем точки $$(0;0)$$ и $$(2;2)$$.

   2) При $$x\le 0$$: $$y=-x$$, тогда

   $$x^2+(-x-2)^2=4$$

   $$2x^2+4x=0$$

   $$2x(x+2)=0$$

   $$x=0 \text{ или } x=-2$$

   Получаем точки $$(0;0)$$ и $$(-2;2)$$.

   Итак, фигура состоит из трёх точек: $$(-2;2)$$, $$(0;0)$$, $$(2;2)$$.

Ответ

1) две точки пересечения; 2) две точки пересечения; 3) две точки пересечения; 4) $$(-2;2),\ (0;0),\ (2;2)$$.