Упр.175 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Доказать, что последовательность, заданная формулой $$n$$-го члена, является арифметической прогрессией:

1. $$a_n=3-4n$$;
2. $$a_n=-5+2n$$;
3. $$a_n=3(n+1)$$;
4. $$a_n=2(3-n)$$.

1. $$a_n=3-4n$$

   Найдём разность соседних членов:

   $$d=a_{n+1}-a_n=(3-4(n+1))-(3-4n)$$

   $$d=3-4n-4-3+4n=-4$$

   Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.

2. $$a_n=-5+2n$$

   Найдём разность соседних членов:

   $$d=a_{n+1}-a_n=\bigl(-5+2(n+1)\bigr)-(-5+2n)$$

   $$d=-5+2n+2+5-2n=2$$

   Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.

3. $$a_n=3(n+1)$$

   Найдём разность соседних членов:

   $$d=a_{n+1}-a_n=3\bigl((n+1)+1\bigr)-3(n+1)$$

   $$d=3\bigl(n+2-n-1\bigr)=3$$

   Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.

4. $$a_n=2(3-n)$$

   Найдём разность соседних членов:

   $$d=a_{n+1}-a_n=2\bigl(3-(n+1)\bigr)-2(3-n)$$

   $$d=2(2-n)-2(3-n)=4-2n-6+2n=-2$$

   Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.

Ответ

Все четыре последовательности являются арифметическими прогрессиями; их разности: $$d_1=-4,\ d_2=2,\ d_3=3,\ d_4=-2.$$