Упр.79 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Сравнить числа:
   1) $$\left(\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)^2\right)^{\frac{1}{3}}$$ и $$\left(\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)^2\right)^{\frac{1}{3}}$$;
   2) $$\left(\left(1\frac{1}{4}-1\frac{1}{5}\right)^3\right)^{\frac{1}{5}}$$ и $$\left(\left(1\frac{1}{6}-1\frac{1}{7}\right)^3\right)^{\frac{1}{5}}$$.

1) Найдём значения выражений под корнем:

$$\frac12-\frac13=\frac{3-2}{6}=\frac16,$$
$$\frac13-\frac14=\frac{4-3}{12}=\frac1{12}.$$

Так как $$\frac16>\frac1{12}$$ и оба числа положительны, то

$$\left(\frac12-\frac13\right)^2>\left(\frac13-\frac14\right)^2.$$

Функция $$x^{1/3}$$ возрастает при $$x>0$$, значит

$$\sqrt[3]{\left(\frac12-\frac13\right)^2}>\sqrt[3]{\left(\frac13-\frac14\right)^2}.$$

2) Сравним числа под корнем:

$$1\frac14-1\frac15=\frac54-\frac65=\frac{25-24}{20}=\frac1{20},$$
$$1\frac16-1\frac17=\frac76-\frac87=\frac{49-48}{42}=\frac1{42}.$$

Так как $$\frac1{20}>\frac1{42}$$ и оба числа положительны, то

$$\left(1\frac14-1\frac15\right)^3>\left(1\frac16-1\frac17\right)^3.$$

Функция $$x^{1/5}$$ возрастает при $$x>0$$, значит

$$\sqrt[5]{\left(1\frac14-1\frac15\right)^3}>\sqrt[5]{\left(1\frac16-1\frac17\right)^3}.$$

Ответ

1) $$\sqrt[3]{\left(\frac12-\frac13\right)^2}>\sqrt[3]{\left(\frac13-\frac14\right)^2}$$;
2) $$\sqrt[5]{\left(1\frac14-1\frac15\right)^3}>\sqrt[5]{\left(1\frac16-1\frac17\right)^3}$$.