Упр.32 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$x$$ имеет смысл выражение:
   1) $$(2x-3)^{\frac{1}{6}}$$;
   2) $$(x+3)^{\frac{1}{3}}$$;
   3) $$(2x^2-x-1)^{\frac{1}{3}}$$;
   4) $$\left(\frac{2-3x}{2x-4}\right)^{\frac{1}{4}}$$?

1. $$\left(2x-3\right)^{\frac16}$$

   Для корня чётной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$2x-3\ge 0$$

   $$2x\ge 3$$

   $$x\ge \frac32$$

   Значит, $$x\in\left[\frac32;+\infty\right).$$

2. $$\left(x+3\right)^{\frac13}$$

   Корень нечётной степени имеет смысл при любых значениях подкоренного выражения:

   $$x\in(-\infty;+\infty).$$

3. $$\left(2x^2-x-1\right)^{\frac13}$$

   Корень нечётной степени определён при любых значениях подкоренного выражения:

   $$x\in(-\infty;+\infty).$$

4. $$\left(\frac{2-3x}{2x-4}\right)^{\frac14}$$

   Для корня чётной степени нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а знаменатель дроби — не равен нулю:

   $$\frac{2-3x}{2x-4}\ge 0,\qquad 2x-4\ne 0$$

   $$\frac{2-3x}{2(x-2)}\ge 0$$

   Критические точки: $$x=\frac23$$ и $$x=2.$$

   Проверка знаков показывает, что неравенство выполняется на промежутке

   $$x\in\left[\frac23;2\right).$$

Ответ

1) $$x\in\left[\frac32;+\infty\right)$$; 2) $$x\in(-\infty;+\infty)$$; 3) $$x\in(-\infty;+\infty)$$; 4) $$x\in\left[\frac23;2\right).$$