Упр.1.91 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Проиллюстрируйте геометрически следующий факт: если $$a$$ и $$b$$ — положительные числа, то $$a^3>b^3$$ в том и только в том случае, когда $$a>b$$. Докажите этот факт алгебраически.

Геометрически этот факт можно иллюстрировать так: объёмы кубов со сторонами $$a$$ и $$b$$ равны соответственно $$a^3$$ и $$b^3$$. Если $$a>b>0$$, то куб со стороной $$a$$ имеет больший объём, значит $$a^3>b^3$$.

Докажем утверждение алгебраически.

1) Если $$a>b>0$$, то

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$

Так как $$a-b>0$$ и $$a^2+ab+b^2>0$$, то

$$a^3-b^3>0,$$

следовательно, $$a^3>b^3$$.

2) Если $$a^3>b^3$$, то

$$a^3-b^3>0.$$

Разложим разность кубов на множители:

$$(a-b)(a^2+ab+b^2)>0.$$

При $$a>0$$ и $$b>0$$ имеем $$a^2+ab+b^2>0$$, значит знак произведения определяется знаком множителя $$a-b$$. Поэтому

$$a-b>0,$$

то есть $$a>b$$.

Итак, для положительных чисел $$a$$ и $$b$$ выполняется:

$$a^3>b^3 \iff a>b.$$

Ответ

$$a^3>b^3 \iff a>b \quad \text{при } a>0,\ b>0.$$