Упр.4.54 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Арифметическая прогрессия $$(a_n)$$ задана формулой $$a_n=10-4n$$. а) Составьте формулу для вычисления суммы первых $$n$$ членов этой прогрессии. б) Пользуясь этой формулой, найдите сумму первых тридцати членов этой прогрессии. в) Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, сложили, если в сумме получилось $$-120$$?

Дана арифметическая прогрессия $$a_n=10-4n.$$

Найдём первый член:

$$a_1=10-4\cdot 1=6.$$

Тогда сумма первых $$n$$ членов:

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n =\frac{6+(10-4n)}{2}\cdot n =\frac{16-4n}{2}\cdot n =n(8-2n).$$

а) Формула суммы первых $$n$$ членов:

$$S_n=n(8-2n).$$

б) Найдём сумму первых тридцати членов:

$$S_{30}=30(8-2\cdot 30)=30(8-60)=30\cdot(-52)=-1560.$$

в) Если сумма первых $$n$$ членов равна $$-120$$, то:

$$n(8-2n)=-120$$

$$8n-2n^2+120=0$$

$$n^2-4n-60=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot(-60)=16+240=256,$$

$$n=\frac{4\pm 16}{2}.$$

Получаем:

$$n_1=-6,\quad n_2=10.$$

Так как число членов прогрессии должно быть натуральным, берём $$n=10$$.

Ответ

а) $$S_n=n(8-2n)$$; б) $$S_{30}=-1560$$; в) $$10$$.