Упр.4.3 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)
- Предположим, что родители дали вам 1 рубль и у вас имеются две возможности дальнейшего получения денег. Первая: ежедневно вы будете получать сумму, на 2 рубля большую, чем получили в предыдущий день. Вторая: во второй день вы получите 1 рубль, а начиная с третьего дня будете получать ежедневно столько рублей, сколько получили за предшествующие два дня вместе.
1) Заполните таблицу для первых десяти дней.
2) Изобразите каждую из получившихся последовательностей точками на координатной плоскости: по горизонтальной оси откладывайте номер дня, а по вертикальной — полученную в этот день сумму денег. Какой из способов выгоднее, если вы планируете получать деньги в течение одной недели? в течение одного месяца?
3) Задайте каждую из этих последовательностей рекуррентным способом, обозначив первую из них через $$(a_n)$$, а вторую — через $$(b_n)$$.
Обозначим суммы денег по дням.
Для I способа каждый следующий день сумма увеличивается на 2 рубля:
$$a_1=1,\quad a_n=a_{n-1}+2,\quad n\ge 2.$$
Тогда первые десять членов последовательности:
$$1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ 13,\ 15,\ 17,\ 19.$$
Для II способа во второй день дают 1 рубль, а начиная с третьего дня сумма равна сумме двух предыдущих дней:
$$b_1=1,\quad b_2=1,\quad b_n=b_{n-1}+b_{n-2},\quad n\ge 3.$$
Первые десять членов:
$$1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55.$$
Сравним суммы за 7 и 30 дней. За неделю:
$$a_7=13,\quad b_7=13,$$
то есть оба способа дают одинаковый результат. За месяц второй способ начинает быстро превосходить первый, поэтому он выгоднее.
Ответ
1) I способ: $$1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ 13,\ 15,\ 17,\ 19.$$
II способ: $$1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55.$$
2) За одну неделю оба способа одинаково выгодны; за один месяц выгоднее II способ.
3) $$a_1=1,\quad a_n=a_{n-1}+2,\quad n\ge 2;$$
$$b_1=1,\quad b_2=1,\quad b_n=b_{n-1}+b_{n-2},\quad n\ge 3.$$
