Упр.4.147 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Существует формула, по которой биномиальные коэффициенты можно вычислять непосредственно, не прибегая к треугольнику Паскаля: $$C(n;m)=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$.

1. Найдите по формуле $$C(7;4)$$, $$C(5;2)$$, $$C(10;5)$$. Сравните с результатом, полученным с помощью треугольника Паскаля.
2. Докажите, что $$C(12;4)=C(12;8)$$.
3. Докажите, что $$C(7;2)+C(7;3)=C(8;3)$$.
4. Докажите, что $$C(n;m)+C(n;m+1)=C(n+1;m+1)$$.

1. По формуле биномиального коэффициента
   $$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}.$$
   Найдём значения:
   $$C_7^4=\frac{7!}{4!(7-4)!}=\frac{7!}{4!\cdot 3!}=35,$$
   $$C_5^2=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5!}{2!\cdot 3!}=10,$$
   $$C_{10}^5=\frac{10!}{5!(10-5)!}=\frac{10!}{5!\cdot 5!}=252.$$
   Эти значения совпадают с числами в треугольнике Паскаля.
2. Докажем равенство:
   $$C_{12}^4=\frac{12!}{4!(12-4)!}=\frac{12!}{4!\cdot 8!},$$
   $$C_{12}^8=\frac{12!}{8!(12-8)!}=\frac{12!}{8!\cdot 4!}.$$
   Так как в знаменателях стоят одни и те же множители, только в другом порядке, то
   $$C_{12}^4=C_{12}^8.$$
3. Вычислим:
   $$C_7^2=\frac{7!}{2!(7-2)!}=\frac{7!}{2!\cdot 5!}=21,$$
   $$C_7^3=\frac{7!}{3!(7-3)!}=\frac{7!}{3!\cdot 4!}=35,$$
   $$C_8^3=\frac{8!}{3!(8-3)!}=\frac{8!}{3!\cdot 5!}=56.$$
   Тогда
   $$C_7^2+C_7^3=21+35=56=C_8^3.$$
4. Докажем тождество:
   $$C_n^m+C_n^{m+1}=\frac{n!}{m!(n-m)!}+\frac{n!}{(m+1)!(n-m-1)!}.$$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$C_n^m+C_n^{m+1} =\frac{n!}{m!(n-m-1)!}\left(\frac{1}{n-m}+\frac{1}{m+1}\right).$$
   Тогда
   $$C_n^m+C_n^{m+1} =\frac{n!}{m!(n-m-1)!}\cdot \frac{m+1+n-m}{(n-m)(m+1)} =\frac{n!(n+1)}{(m+1)!(n-m)!}.$$
   Следовательно,
   $$C_n^m+C_n^{m+1}=\frac{(n+1)!}{(m+1)!(n-m)!}.$$
   Но
   $$C_{n+1}^{m+1}=\frac{(n+1)!}{(m+1)!((n+1)-(m+1))!} =\frac{(n+1)!}{(m+1)!(n-m)!}.$$
   Значит,
   $$C_n^m+C_n^{m+1}=C_{n+1}^{m+1}.$$

Ответ

$$C_7^4=35,\quad C_5^2=10,\quad C_{10}^5=252;$$
$$C_{12}^4=C_{12}^8;$$
$$C_7^2+C_7^3=C_8^3;$$
$$C_n^m+C_n^{m+1}=C_{n+1}^{m+1}.$$