Упр.4.140 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что сумма чисел строки с номером $$n$$ треугольника Паскаля равна $$2^n$$.

Рассмотрим сумму чисел $$n$$-й строки треугольника Паскаля.

1) Первый способ. Из предыдущего результата известно, что сумма элементов каждой следующей строки треугольника Паскаля в два раза больше суммы элементов предыдущей строки. Первая строка состоит из одного числа $$1$$, значит её сумма равна $$2^0$$.

Тогда для строки с номером $$n$$ сумма равна

$$2^n.$$

2) Второй способ. По формуле бинома Ньютона

$$(a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n-2}b^2+\dots+C_n^nb^n.$$

Подставим $$a=1$$ и $$b=1$$:

$$(1+1)^n=C_n^0+C_n^1+C_n^2+\dots+C_n^n.$$

Левая часть равна $$2^n$$, значит

$$C_n^0+C_n^1+C_n^2+\dots+C_n^n=2^n.$$

Это и требовалось доказать.

Ответ

Сумма чисел строки с номером $$n$$ треугольника Паскаля равна $$2^n$$.