Упр.3.70 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Функции заданы формулами: $$y=\frac{1}{x^2+1}$$; $$y=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}$$; $$y=\frac{x^2}{x^2+1}$$; $$y=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$$.

Для каждой функции определите, пересекает ли её график ось $$x$$, и если пересекает, то в каких точках.

1. $$y=\frac{1}{x^2+1}$$

   Чтобы график пересекал ось $$x$$, нужно, чтобы $$y=0$$:

   $$\frac{1}{x^2+1}=0$$

   Таких значений $$x$$ нет, так как дробь с числителем $$1$$ не может быть равна нулю.

   График ось $$x$$ не пересекает.

2. $$y=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}$$

   Ищем точки пересечения с осью $$x$$:

   $$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=0$$

   Умножим на $$(x-1)(x+1)$$:

   $$x+1+x-1=0$$
   $$2x=0$$
   $$x=0$$

   Проверим область определения: $$x\neq 1$$, $$x\neq -1$$. Значение $$x=0$$ подходит.

   Точка пересечения: $$(0;0)$$.

3. $$y=\frac{x^2}{x^2+1}$$

   Решаем уравнение:

   $$\frac{x^2}{x^2+1}=0$$

   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:

   $$x^2=0$$
   $$x=0$$

   Знаменатель при $$x=0$$ не равен нулю, значит значение допустимо.

   Точка пересечения: $$(0;0)$$.

4. $$y=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$$

   Ищем пересечение с осью $$x$$:

   $$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=0$$

   Умножим на $$(x-1)(x+1)$$:

   $$x+1-(x-1)=0$$
   $$x+1-x+1=0$$
   $$2=0$$

   Получили неверное равенство, значит решений нет.

   График ось $$x$$ не пересекает.

Ответ

1) не пересекает; 2) пересекает в точке $$(0;0)$$; 3) пересекает в точке $$(0;0)$$; 4) не пересекает.