Упр.3.120 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)
Решите систему уравнений:
а) $$\begin{cases} x+y=4(x-y), \\ x^2-y^2=16; \end{cases}$$
б) $$\begin{cases} 2x-2y=x+y, \\ x^2-y^2=8; \end{cases}$$
в) $$\begin{cases} 3(x-y)=x+y, \\ \frac{x^2-y^2}{3}=1; \end{cases}$$
г) $$\begin{cases} x^2-y^2=10, \\ 2(x+y)=5(x-y). \end{cases}$$
а) Введём замену: $$x+y=a,\quad x-y=b.$$ Тогда
$$\begin{cases} a=4b,\\ ab=16. \end{cases}$$
Подставим $$a=4b$$ во второе уравнение:
$$4b^2=16,\quad b^2=4,\quad b=\pm 2.$$
Если $$b=-2,$$ то $$a=-8,$$ и
$$\begin{cases} x+y=-8,\\ x-y=-2 \end{cases} \Rightarrow 2x=-10,\ x=-5,\ y=-3.$$
Если $$b=2,$$ то $$a=8,$$ и
$$\begin{cases} x+y=8,\\ x-y=2 \end{cases} \Rightarrow 2x=10,\ x=5,\ y=3.$$
б) Пусть $$x+y=a,\quad x-y=b.$$ Тогда
$$\begin{cases} 2b=a,\\ ab=8. \end{cases}$$
Подставим $$a=2b$$:
$$2b^2=8,\quad b^2=4,\quad b=\pm 2.$$
Если $$b=-2,$$ то $$a=-4,$$ и
$$\begin{cases} x+y=-4,\\ x-y=-2 \end{cases} \Rightarrow 2x=-6,\ x=-3,\ y=-1.$$
Если $$b=2,$$ то $$a=4,$$ и
$$\begin{cases} x+y=4,\\ x-y=2 \end{cases} \Rightarrow 2x=6,\ x=3,\ y=1.$$
в) Пусть $$x+y=a,\quad x-y=b.$$ Тогда
$$\begin{cases} 3b=a,\\ ab=3. \end{cases}$$
Подставим $$a=3b$$:
$$3b^2=3,\quad b^2=1,\quad b=\pm 1.$$
Если $$b=-1,$$ то $$a=-3,$$ и
$$\begin{cases} x+y=-3,\\ x-y=-1 \end{cases} \Rightarrow 2x=-4,\ x=-2,\ y=-1.$$
Если $$b=1,$$ то $$a=3,$$ и
$$\begin{cases} x+y=3,\\ x-y=1 \end{cases} \Rightarrow 2x=4,\ x=2,\ y=1.$$
г) Пусть $$x+y=a,\quad x-y=b.$$ Тогда
$$\begin{cases} ab=10,\\ 2a=5b. \end{cases}$$
Из второго уравнения $$a=2{,}5b.$$ Подставим в первое:
$$2{,}5b^2=10,\quad b^2=4,\quad b=\pm 2.$$
Если $$b=-2,$$ то $$a=-5,$$ и
$$\begin{cases} x+y=-5,\\ x-y=-2 \end{cases} \Rightarrow 2x=-7,\ x=-3{,}5,\ y=-1{,}5.$$
Если $$b=2,$$ то $$a=5,$$ и
$$\begin{cases} x+y=5,\\ x-y=2 \end{cases} \Rightarrow 2x=7,\ x=3{,}5,\ y=1{,}5.$$
Ответ
а) $$(-5;\,-3)$$ и $$(5;\,3)$$; б) $$(-3;\,-1)$$ и $$(3;\,1)$$; в) $$(-2;\,-1)$$ и $$(2;\,1)$$; г) $$(-3{,}5;\,-1{,}5)$$ и $$(3{,}5;\,1{,}5)$$.
