Упр.3.117 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)
Решите способом подстановки систему уравнений:
а) $$y-x=9$$ и $$\frac{10}{y}-\frac{4}{x}=3$$;
б) $$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=1$$ и $$3x-y=2$$;
в) $$2x-y=-1$$ и $$\frac{1}{x+2}+\frac{10}{y+2}=1$$;
г) $$x-3y=5$$ и $$\frac{6}{x+1}-\frac{4}{y+3}=3$$.
а) Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$y=x+9.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\frac{10}{x+9}-\frac{4}{x}=3.$$
Умножим на $$x(x+9)$$:
$$10x-4(x+9)=3x(x+9).$$
$$10x-4x-36=3x^2+27x.$$
$$3x^2+21x+36=0.$$
$$x^2+7x+12=0.$$
$$\left(x+4\right)\left(x+3\right)=0,$$
откуда $$x=-4$$ или $$x=-3$$.
Тогда $$y=x+9$$, значит $$y=5$$ или $$y=6$$.
Получаем пары решений: $$(-4; 5)$$ и $$(-3; 6)$$.
б) Из второго уравнения выразим $$y$$:
$$y=3x-2.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\frac{1}{x}+\frac{2}{3x-2}=1.$$
Умножим на $$x(3x-2)$$:
$$3x-2+2x=x(3x-2).$$
$$5x-2=3x^2-2x.$$
$$3x^2-7x+2=0.$$
$$D=49-24=25.$$
$$x=\frac{7\pm 5}{6},$$
откуда $$x=\frac13$$ или $$x=2$$.
Тогда
$$y=3\cdot\frac13-2=-1,$$
$$y=3\cdot 2-2=4.$$
Ответ: $$\left(\frac13; -1\right)$$ и $$\left(2; 4\right).$$
в) Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$y=2x+1.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\frac{1}{x+2}+\frac{10}{2x+3}=1.$$
Умножим на $$\left(x+2\right)\left(2x+3\right)$$:
$$2x+3+10(x+2)=(x+2)(2x+3).$$
$$2x+3+10x+20=2x^2+7x+6.$$
$$2x^2-5x-17=0.$$
$$D=25+136=161.$$
$$x=\frac{5\pm\sqrt{161}}{4}.$$
Тогда
$$y=2x+1=\frac{7\pm\sqrt{161}}{2}.$$
Получаем решения:
$$\left(\frac{5+\sqrt{161}}{4}; \frac{7+\sqrt{161}}{2}\right)$$ и $$\left(\frac{5-\sqrt{161}}{4}; \frac{7-\sqrt{161}}{2}\right).$$
г) Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$x=5+3y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\frac{6}{5+3y+1}-\frac{4}{y+3}=3,$$
то есть
$$\frac{6}{3y+6}-\frac{4}{y+3}=3.$$
Умножим на $$\left(3y+6\right)\left(y+3\right)$$:
$$6(y+3)-4(3y+6)=3(3y+6)(y+3).$$
$$6y+18-12y-24=3(3y^2+15y+18).$$
$$-6y-6=9y^2+45y+54.$$
$$3y^2+17y+20=0.$$
$$D=289-240=49.$$
$$y=\frac{-17\pm 7}{6},$$
откуда $$y=-4$$ или $$y=-\frac53$$.
Тогда
$$x=5+3(-4)=-7,$$
$$x=5+3\left(-\frac53\right)=0.$$
Ответ: $$(-7; -4)$$ и $$\left(0; -\frac53\right).$$
Ответ
а) $$(-4; 5)$$ и $$(-3; 6)$$; б) $$\left(\frac13; -1\right)$$ и $$\left(2; 4\right)$$; в) $$\left(\frac{5+\sqrt{161}}{4}; \frac{7+\sqrt{161}}{2}\right)$$ и $$\left(\frac{5-\sqrt{161}}{4}; \frac{7-\sqrt{161}}{2}\right)$$; г) $$(-7; -4)$$ и $$\left(0; -\frac53\right).$$
