Упр.2.5 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)
Составьте таблицу значений функции и постройте её график.
а) $$y=x^2-6x+5$$;
б) $$y=-x^2+2x+3$$.
В каждом случае ответьте на вопросы:
- Имеет ли функция наименьшее или наибольшее значение и чему оно равно? При каком $$x$$ функция принимает это значение?
- Пересекает ли график функции прямую $$y=10$$? $$y=-10$$?
а) $$y=x^2-6x+5$$
Составим таблицу значений:
| $$x$$ | $$y=x^2-6x+5$$ | $$y$$ |
|---|---|---|
| $$-1$$ | $$1+6+5$$ | $$12$$ |
| $$0$$ | $$0-0+5$$ | $$5$$ |
| $$1$$ | $$1-6+5$$ | $$0$$ |
| $$2$$ | $$4-12+5$$ | $$-3$$ |
| $$3$$ | $$9-18+5$$ | $$-4$$ |
| $$4$$ | $$16-24+5$$ | $$-3$$ |
| $$5$$ | $$25-30+5$$ | $$0$$ |
| $$6$$ | $$36-36+5$$ | $$5$$ |
| $$7$$ | $$49-42+5$$ | $$12$$ |
Приведём функцию к виду полного квадрата:
$$y=x^2-6x+5=(x-3)^2-4$$
Так как $$(x-3)^2 \ge 0$$, то функция имеет наименьшее значение $$y_{\min}=-4$$ при $$x=3$$.
Прямая $$y=10$$ пересекает график, так как уравнение
$$x^2-6x+5=10$$
имеет решения:
$$x^2-6x-5=0$$
$$D=36+20=56$$
$$x=\frac{6\pm\sqrt{56}}{2}=3\pm\sqrt{14}$$
Прямая $$y=-10$$ не пересекает график, так как наименьшее значение функции равно $$-4$$.
б) $$y=-x^2+2x+3$$
Составим таблицу значений:
| $$x$$ | $$y=-x^2+2x+3$$ | $$y$$ |
|---|---|---|
| $$-3$$ | $$-9-6+3$$ | $$-12$$ |
| $$-2$$ | $$-4-4+3$$ | $$-5$$ |
| $$-1$$ | $$-1-2+3$$ | $$0$$ |
| $$0$$ | $$-0+0+3$$ | $$3$$ |
| $$1$$ | $$-1+2+3$$ | $$4$$ |
| $$2$$ | $$-4+4+3$$ | $$3$$ |
| $$3$$ | $$-9+6+3$$ | $$0$$ |
| $$4$$ | $$-16+8+3$$ | $$-5$$ |
| $$5$$ | $$-25+10+3$$ | $$-12$$ |
Приведём функцию к виду полного квадрата:
$$y=-x^2+2x+3=-(x^2-2x)+3=-(x-1)^2+4$$
Так как $$-(x-1)^2 \le 0$$, то функция имеет наибольшее значение $$y_{\max}=4$$ при $$x=1$$.
Прямая $$y=10$$ не пересекает график, так как наибольшее значение функции равно $$4$$.
Прямая $$y=-10$$ пересекает график, так как уравнение
$$-x^2+2x+3=-10$$
имеет решения:
$$x^2-2x-13=0$$
$$D=4+52=56$$
$$x=\frac{2\pm\sqrt{56}}{2}=1\pm\sqrt{14}$$
Ответ
а) $$y_{\min}=-4$$ при $$x=3$$; прямая $$y=10$$ пересекает график, прямая $$y=-10$$ — нет.
б) $$y_{\max}=4$$ при $$x=1$$; прямая $$y=10$$ не пересекает график, прямая $$y=-10$$ пересекает.
