Упр.2.38 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Исследуем

1. Постройте параболу $$y=\frac{1}{4}x^2$$.
2. В этой же системе координат проведите прямую $$d$$, уравнение которой $$y=-1$$, и отметьте точку $$F(0;1)$$.
3. Отметьте на параболе несколько точек с целыми координатами и для каждой из них вычислите расстояния до точки $$F$$ и до прямой $$d$$.
4. Докажите, что любая точка параболы $$y=\frac{1}{4}x^2$$ находится на одинаковом расстоянии от точки $$F$$ и от прямой $$d$$.

1) Построим параболу $$y=\frac14x^2.$$ Для этого удобно взять несколько точек с целыми координатами:

$$x=-6,\,-4,\,-2,\,0,\,2,\,4,\,6$$

Тогда

$$y=9,\,4,\,1,\,0,\,1,\,4,\,9.$$

Получаем точки $$(-6;9),\,(-4;4),\,(-2;1),\,(0;0),\,(2;1),\,(4;4),\,(6;9).$$

2) В той же системе координат проводим прямую $$d: y=-1$$ и отмечаем точку $$F(0;1).$$

3) Найдём расстояния от некоторых точек параболы до точки $$F$$ и до прямой $$d$$:

$$FA=\sqrt{(-2-0)^2+(1-1)^2}=\sqrt{4}=2,$$
$$FB=\sqrt{(-6-0)^2+(9-1)^2}=\sqrt{36+64}=10,$$
$$FC=\sqrt{(4-0)^2+(4-1)^2}=\sqrt{16+9}=5.$$

Расстояния от этих точек до прямой $$d$$ равны соответственно:

$$2,\quad 10,\quad 5.$$

4) Возьмём произвольную точку параболы $$\left(x;\frac14x^2\right).$$

Расстояние от неё до точки $$F(0;1)$$:

$$\sqrt{(x-0)^2+\left(\frac14x^2-1\right)^2} = \sqrt{x^2+\frac1{16}x^4-\frac12x^2+1} = \sqrt{\frac1{16}x^4+\frac12x^2+1}.$$

Преобразуем подкоренное выражение:

$$\frac1{16}x^4+\frac12x^2+1=\left(\frac14x^2+1\right)^2.$$

Значит,

$$\sqrt{\left(\frac14x^2+1\right)^2}=\frac14x^2+1.$$

Расстояние от точки $$\left(x;\frac14x^2\right)$$ до прямой $$y=-1$$ равно

$$\frac14x^2-(-1)=\frac14x^2+1.$$

Следовательно, любая точка параболы $$y=\frac14x^2$$ находится на одинаковом расстоянии от точки $$F(0;1)$$ и от прямой $$d: y=-1.$$

Ответ

Любая точка параболы $$y=\frac14x^2$$ равноудалена от точки $$F(0;1)$$ и прямой $$y=-1$$.