Упр.726(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Вычислите сумму: а) $$50^2-49^2+48^2-47^2+\ldots+4^2-3^2+2^2-1^2$$; б) $$1^2-2^2+3^2-4^2+\ldots+97^2-98^2+99^2-100^2$$.

а) Преобразуем каждую разность квадратов по формуле $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$:

$$50^2-49^2+48^2-47^2+\dots+2^2-1^2$$

$$=(50-49)(50+49)+(48-47)(48+47)+\dots+(2-1)(2+1)$$

$$=99+95+\dots+3.$$

Получили арифметическую прогрессию с первым членом $$99$$, последним $$3$$ и разностью $$-4$$.

Число членов:

$$n=\frac{99-3}{4}+1=25.$$

Сумма:

$$S_{25}=\frac{99+3}{2}\cdot 25=51\cdot 25=1275.$$

б) Аналогично:

$$1^2-2^2+3^2-4^2+\dots+99^2-100^2$$

$$=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+\dots+(99-100)(99+100)$$

$$=-3-7-\dots-199.$$

Это арифметическая прогрессия с первым членом $$-3$$, последним $$-199$$ и разностью $$-4$$.

Число членов:

$$n=\frac{-199-(-3)}{-4}+1=50.$$

Сумма:

$$S_{50}=\frac{-3+(-199)}{2}\cdot 50=\frac{-202}{2}\cdot 50=-101\cdot 50=-5050.$$

Ответ

а) $$1275$$; б) $$-5050$$.