Упр.724(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)
- Пусть $$S_1$$ — сумма первых трёх членов арифметической прогрессии $$(a_n)$$, $$S_2$$ — сумма второй тройки её членов и $$S_3$$ — сумма третьей тройки членов этой прогрессии. Докажите, что последовательность чисел $$S_1, S_2, S_3$$ также является арифметической прогрессией.
- Сумма первых четырёх членов арифметической прогрессии равна $$14$$, сумма следующих её четырёх членов равна $$46$$. Найдите:
а) сумму членов этой прогрессии с девятого по двенадцатый включительно;
б) сумму первых шестнадцати членов этой прогрессии.
1) Пусть $$a_n$$ — арифметическая прогрессия с разностью $$d$$. Тогда
$$a_1=a_1,\quad a_2=a_1+d,\quad a_3=a_1+2d,\quad a_4=a_1+3d,\quad a_5=a_1+4d,\quad a_6=a_1+5d,\quad a_7=a_1+6d,\quad a_8=a_1+7d,\quad a_9=a_1+8d.$$
Суммы трёх подряд идущих членов:
$$S_1=a_1+a_2+a_3=3a_1+3d,$$
$$S_2=a_4+a_5+a_6=3a_1+12d,$$
$$S_3=a_7+a_8+a_9=3a_1+21d.$$
Найдём разности соседних членов:
$$S_2-S_1=(3a_1+12d)-(3a_1+3d)=9d,$$
$$S_3-S_2=(3a_1+21d)-(3a_1+12d)=9d.$$
Разности равны, значит, последовательность $$S_1, S_2, S_3$$ — арифметическая прогрессия.
2) Сумма первых четырёх членов:
$$S_{1-4}=a_1+a_2+a_3+a_4=4a_1+6d=14.$$
Сумма следующих четырёх членов:
$$S_{5-8}=a_5+a_6+a_7+a_8=4a_1+22d=46.$$
Вычтем первое равенство из второго:
$$(4a_1+22d)-(4a_1+6d)=46-14,$$
$$16d=32,\quad d=2.$$
Найдём $$a_1$$:
$$4a_1+6\cdot 2=14,$$
$$4a_1=2,\quad a_1=\frac12.$$
а) Сумма членов с девятого по двенадцатый:
$$S_{9-12}=a_9+a_{10}+a_{11}+a_{12}.$$
Это сумма четырёх членов арифметической прогрессии, начиная с $$a_9$$. Тогда
$$S_{9-12}=4a_1+38d=4\cdot \frac12+38\cdot 2=2+76=78.$$
б) Сумма первых шестнадцати членов:
$$S_{16}=\frac{a_1+a_{16}}{2}\cdot 16.$$
$$a_{16}=a_1+15d=\frac12+15\cdot 2=\frac12+30=\frac{61}{2}.$$
$$S_{16}=\frac{\frac12+\frac{61}{2}}{2}\cdot 16=\frac{31}{2}\cdot 16=248.$$
Ответ
1) $$S_1, S_2, S_3$$ — арифметическая прогрессия; 2) а) $$78$$; б) $$248$$.
