Упр.541(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)
- а) $$2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-3\left(x+\frac{1}{x}\right)+2=0$$; б) $$4\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-8\left(x-\frac{1}{x}\right)=5$$.
а) Обозначим $$y=x+\frac{1}{x}.$$ Тогда
$$x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2.$$
Подставим в уравнение:
$$2\left(y^2-2\right)-3y+2=0,$$
$$2y^2-3y-2=0.$$
Найдём корни:
$$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25,$$
$$y_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}.$$
Получаем:
$$y_1=2,\qquad y_2=-\frac12.$$
1) Если $$x+\frac{1}{x}=2,$$ то
$$x^2-2x+1=0,$$
$$\left(x-1\right)^2=0,$$
$$x=1.$$
2) Если $$x+\frac{1}{x}=-\frac12,$$ то
$$2x^2+x+2=0.$$
Дискриминант:
$$D=1-16=-15<0,$$
действительных корней нет.
б) Обозначим $$y=x-\frac{1}{x}.$$ Тогда
$$x^2+\frac{1}{x^2}=y^2+2.$$
Подставим в уравнение:
$$4\left(y^2+2\right)-8y=5,$$
$$4y^2-8y+3=0.$$
Найдём корни:
$$D=(-8)^2-4\cdot 4\cdot 3=64-48=16,$$
$$y_{1,2}=\frac{8\pm 4}{8}.$$
Получаем:
$$y_1=\frac12,\qquad y_2=\frac32.$$
1) Если $$x-\frac{1}{x}=\frac12,$$ то
$$2x^2-x-2=0,$$
$$D=1+16=17,$$
$$x=\frac{1\pm \sqrt{17}}{4}.$$
2) Если $$x-\frac{1}{x}=\frac32,$$ то
$$2x^2-3x-2=0,$$
$$D=9+16=25,$$
$$x=\frac{3\pm 5}{4}.$$
Отсюда
$$x=-\frac12,\qquad x=2.$$
Ответ
а) $$x=1.$$ б) $$x=-\frac12,\ 2,\ \frac{1-\sqrt{17}}{4},\ \frac{1+\sqrt{17}}{4}.$$
