Упр.523(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Докажите, что при всех значениях переменных значение выражения:

а) $$(2-x)(4+x^2)+(2+x)(4+x^2)-4(2+x)(x-2)$$ равно 32;

б) $$(x+z)(x-z)-y(2x-y)-(x-y+z)(x-y-z)$$ равно 0;

в) $$(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)+(a-b-c)(b-a-c)(c-b-a)$$ равно 0;

г) $$(y^2-1)(y^2+y+1)(y^2-y+1)-y^6$$ равно −1.

1. а)

   $$(2-x)(4+x^2)+(2+x)(4+x^2)-4(2+x)(x-2)$$
   $$=(4+x^2)(2-x+2+x)-4(x^2-4)$$
   $$=4(4+x^2)-4(x^2-4)$$
   $$=4(4+x^2-x^2+4)=4\cdot 8=32.$$
   Тождество доказано.

2. б)

   $$(x+z)(x-z)-y(2x-y)-(x-y+z)(x-y-z)$$
   $$=x^2-z^2-2xy+y^2-\bigl((x-y)^2-z^2\bigr)$$
   $$=x^2-2xy+y^2-z^2-(x-y)^2+z^2$$
   $$=(x-y)^2-(x-y)^2=0.$$
   Тождество доказано.

3. в)

   $$(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)+(a-b-c)(b-a-c)(c-b-a)$$
   $$=-(a-b-c)(-a+b-c)(-a-b+c)+(a-b-c)(b-a-c)(c-b-a)$$
   $$=0.$$
   Тождество доказано.

4. г)

   $$(y^2-1)(y^2+y+1)(y^2-y+1)-y^6$$
   $$=(y-1)(y^2+y+1)(y+1)(y^2-y+1)-y^6$$
   $$=(y^3-1)(y^3+1)-y^6$$
   $$=y^6-1-y^6=-1.$$
   Тождество доказано.

Ответ

а) $$32$$; б) $$0$$; в) $$0$$; г) $$-1$$.