Упр.520(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее значение выражения $$a^2+b^2-2a+4b+10$$ и укажите пару значений $$a$$ и $$b$$, при которых оно достигается. Указание. Выделите в выражении квадраты двучленов.

Выделим полные квадраты:

$$a^2+b^2-2a+4b+10=(a^2-2a+1)+(b^2+4b+4)+5=(a-1)^2+(b+2)^2+5.$$

Так как $$(a-1)^2 \ge 0$$ и $$(b+2)^2 \ge 0,$$ то

$$(a-1)^2+(b+2)^2+5 \ge 5.$$

Равенство достигается при

$$(a-1)^2=0,\quad (b+2)^2=0,$$

то есть при $$a=1$$ и $$b=-2.$$

Ответ

Наименьшее значение выражения равно $$5$$, оно достигается при $$a=1$$ и $$b=-2$$.