Упр.332(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Задача

Постройте график функции и определите, при каких значениях $$a$$ прямая $$y=a$$ имеет с графиком три общие точки; две общие точки; одну общую точку:

а) $$y=4-x^2$$, если $$x\leq 2$$, и $$y=x-2$$, если $$x>2$$;

б) $$y=x$$, если $$x\leq -1$$, и $$y=x^2-2$$, если $$x>-1$$.

Подробный ответ

а) Функция задана по частям:

$$y= \begin{cases} 4-x^2, & x\le 2,\\ x-2, & x>2. \end{cases}$$

Для первой части строим параболу $$y=4-x^2$$ при $$x\le 2$$. Её вершина: $$(0;4)$$, точки пересечения с осью $$Ox$$: $$x=\pm 2$$, но точка $$(2;0)$$ входит в график, а точка при $$x>2$$ уже относится ко второй части.

Для второй части строим луч прямой $$y=x-2$$ при $$x>2$$. Он начинается справа от точки $$(2;0)$$.

Теперь найдём, сколько общих точек имеет график с прямой $$y=a$$.

Если $$0<a<4$$, горизонтальная прямая пересекает параболу в двух точках, а с лучом $$y=x-2$$ — ещё в одной точке. Итого три общие точки.
Если $$a=0$$ или $$a=4$$, получаем по две общие точки.
Если $$a<0$$ или $$a>4$$, остаётся только одна общая точка.

б) Функция задана по частям:

$$y= \begin{cases} x, & x\le -1,\\ x^2-2, & x>-1. \end{cases}$$

Первая часть — прямая $$y=x$$ при $$x\le -1$$, вторая — парабола $$y=x^2-2$$ при $$x>-1$$.

Рассмотрим пересечения с прямой $$y=a$$.

Если $$-2<a<-1$$, прямая $$y=a$$ пересекает и левую часть, и параболу в двух точках, а также ещё в одной точке на параболе. Итого три общие точки.
Если $$a=-2$$ или $$a=-1$$, получаем две общие точки.
Если $$a<-2$$ или $$a>-1$$, получаем одну общую точку.