Упр.987 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Три друга хотели купить книгу за 17 р., но ни у кого не набралось нужной суммы. Первый говорит друзьям: «Дайте мне каждый по половине своих денег, и я куплю книгу». Второй говорит: «Дайте мне по трети своих денег, и я куплю книгу». Третий говорит: «Дайте мне по четверти своих денег, и я куплю книгу». Сколько денег было у каждого?

Пусть у первого друга было $$x$$ руб., у второго — $$y$$ руб., у третьего — $$z$$ руб.

По условию получаем систему:

$$\begin{cases} x+\frac12y+\frac12z=17,\\ y+\frac13x+\frac13z=17,\\ z+\frac14x+\frac14y=17. \end{cases}$$

Умножим уравнения на соответствующие числа:

$$\begin{cases} 2x+y+z=34,\\ x+3y+z=51,\\ x+y+4z=68. \end{cases}$$

Вычтем из первого уравнения второе:

$$(2x+y+z)-(x+3y+z)=34-51$$
$$x-2y=-17,$$
$$x=2y-17.$$

Вычтем из второго уравнения третье:

$$(x+3y+z)-(x+y+4z)=51-68$$
$$2y-3z=-17,$$
$$2y=3z-17,$$
$$y=\frac{3z-17}{2}.$$

Вычтем из первого уравнения третье:

$$(2x+y+z)-(x+y+4z)=34-68$$
$$x-3z=-34,$$
$$x=3z-34.$$

Подставим в первое уравнение:

$$2x+y+z=34$$
$$2(3z-34)+\frac{3z-17}{2}+z=34.$$

Умножим на $$2$$:

$$4(3z-34)+3z-17+2z=68$$
$$12z-136+3z-17+2z=68$$
$$17z-153=68$$
$$17z=221$$
$$z=13.$$

Тогда

$$x=3\cdot 13-34=5,$$
$$y=\frac{3\cdot 13-17}{2}=\frac{22}{2}=11.$$

Ответ

У первого было $$5$$ руб., у второго $$11$$ руб., у третьего $$13$$ руб.