Упр.818 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

1. Найдите квадратный трёхчлен, значение которого при $$x=1$$ равно 1, при $$x=2$$ равно 3, при $$x=3$$ равно 11.

Пусть искомый квадратный трёхчлен имеет вид $$ax^2+bx+c.$$ Тогда по условию:

при $$x=1$$: $$a+b+c=1,$$
при $$x=2$$: $$4a+2b+c=3,$$
при $$x=3$$: $$9a+3b+c=11.$$

Вычтем первое уравнение из второго и третьего:

$$\begin{aligned} (4a+2b+c)-(a+b+c)&=3-1,\\ 3a+b&=2; \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} (9a+3b+c)-(4a+2b+c)&=11-3,\\ 5a+b&=8. \end{aligned}$$

Теперь решим систему:

$$\begin{aligned} 3a+b&=2,\\ 5a+b&=8. \end{aligned}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$2a=6,\qquad a=3.$$

Найдём $$b$$:

$$3\cdot 3+b=2,\qquad b=-7.$$

Найдём $$c$$:

$$3+(-7)+c=1,\qquad c=5.$$

Следовательно, искомый квадратный трёхчлен:

$$3x^2-7x+5.$$

Ответ

$$3x^2-7x+5$$