Упр.700 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Докажите тождество:

а) $$2x^3-(x-2)(2x^2-3x+4)=7x^2-10x+8$$;

б) $$2m^3-(2m-3)(m^2-7m+2)-6=17m^2-25m$$;

в) $$(a-2)^2-2a(a-2)+a^2=4$$;

г) $$x^2-2x(x-3)+(x-3)^2=9$$;

д) $$5x(x-y)-2(y-x)^2=(3x+2y)(x-y)$$;

е) $$(a-1)(a^2+1)(a+1)-(a^2-1)^2=2(a^2-1)$$;

ж) $$(a^2+1)^2+(a-1)(a^2+1)-a^2=a(a^3+a^2+1)$$;

з) $$(x^2-1)(x^4+x^2+1)-(x^2-1)^3=3x^2(x^2-1)$$.

1. а)

   $$2x^3-(x-2)(2x^2-3x+4)=2x^3-(2x^3-3x^2+4x-4x^2+6x-8)$$
   $$=2x^3-(2x^3-7x^2+10x-8)=7x^2-10x+8.$$

2. б)

   $$2m^3-(2m-3)(m^2-7m+2)-6$$
   $$=2m^3-(2m^3-14m^2+4m-3m^2+21m-6)-6$$
   $$=2m^3-(2m^3-17m^2+25m-6)-6$$
   $$=17m^2-25m.$$

3. в)

   $$(a-2)^2-2a(a-2)+a^2$$
   $$=a^2-4a+4-2a^2+4a+a^2=4.$$

4. г)

   $$x^2-2x(x-3)+(x-3)^2$$
   $$=x^2-2x^2+6x+x^2-6x+9=9.$$

5. д)

   $$5x(x-y)-2(y-x)^2=5x^2-5xy-2(y^2-2xy+x^2)$$
   $$=5x^2-5xy-2y^2+4xy-2x^2$$
   $$=3x^2-xy-2y^2.$$

   $$(3x+2y)(x-y)=3x^2-3xy+2xy-2y^2=3x^2-xy-2y^2.$$

6. е)

   $$(a-1)(a^2+1)(a+1)-(a^2-1)^2$$
   $$=(a^2-1)(a^2+1)-(a^4-2a^2+1)$$
   $$=a^4-1-a^4+2a^2-1=2a^2-2$$
   $$=2(a^2-1).$$

7. ж)

   $$(a^2+1)^2+(a-1)(a^2+1)-a^2$$
   $$=(a^2+1)(a^2+1+a-1)-a^2$$
   $$=(a^2+1)(a^2+a)-a^2$$
   $$=a(a^2+1)(a+1)-a^2$$
   $$=a(a^3+a^2+a+1-a)=a(a^3+a^2+1).$$

8. з)

   $$(x^2-1)(x^4+x^2+1)-(x^2-1)^3$$
   $$=(x^2-1)\bigl(x^4+x^2+1-(x^2-1)^2\bigr)$$
   $$=(x^2-1)(x^4+x^2+1-x^4+2x^2-1)$$
   $$=(x^2-1)\cdot 3x^2=3x^2(x^2-1).$$

Ответ

Во всех пунктах тождества верны.