Упр.651 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

1. а)
   Преобразуем левую часть:
   $$\frac{2\sqrt3}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5}$$
   Домножим числитель и знаменатель на
   $$\sqrt3-(\sqrt2+\sqrt5).$$
   Тогда
   $$\frac{2\sqrt3\bigl(\sqrt3-(\sqrt2+\sqrt5)\bigr)}{(\sqrt3+\sqrt2+\sqrt5)\bigl(\sqrt3-(\sqrt2+\sqrt5)\bigr)} = \frac{2\sqrt3\bigl(\sqrt3-\sqrt2-\sqrt5\bigr)}{3-(\sqrt2+\sqrt5)^2}.$$
   Вычислим:
   $$(\sqrt2+\sqrt5)^2=2+2\sqrt{10}+5=7+2\sqrt{10},$$
   значит
   $$3-(\sqrt2+\sqrt5)^2=3-(7+2\sqrt{10})=-4-2\sqrt{10}.$$
   Числитель:
   $$2\sqrt3(\sqrt3-\sqrt2-\sqrt5)=6-2\sqrt6-2\sqrt{15}.$$
   Получаем
   $$\frac{6-2\sqrt6-2\sqrt{15}}{-4-2\sqrt{10}}.$$
   Вынесем множители:
   $$\frac{2(3-\sqrt6-\sqrt{15})}{-2(2+\sqrt{10})} = \frac{3-\sqrt6-\sqrt{15}}{-(2+\sqrt{10})}.$$
   Домножим на сопряжённое:
   $$\frac{3-\sqrt6-\sqrt{15}}{-(2+\sqrt{10})}\cdot\frac{2-\sqrt{10}}{2-\sqrt{10}} = \frac{(3-\sqrt6-\sqrt{15})(2-\sqrt{10})}{-(4-10)}.$$
   После раскрытия скобок:
   $$\frac{6-3\sqrt{10}-2\sqrt6+\sqrt{60}-2\sqrt{15}+\sqrt{150}}{6} = \frac{6-3\sqrt{10}+3\sqrt6}{6}.$$
   Следовательно,
   $$\frac{6-3\sqrt{10}+3\sqrt6}{6} = \frac{2+\sqrt6-\sqrt{10}}{2}.$$

2. б)
   Преобразуем левую часть:
   $$\frac{6}{3+\sqrt2-\sqrt3}.$$
   Домножим на сопряжённое выражение:
   $$\frac{6(3+\sqrt2+\sqrt3)}{(3+\sqrt2-\sqrt3)(3+\sqrt2+\sqrt3)}.$$
   Знаменатель:
   $$(3+\sqrt2)^2-3=9+6\sqrt2+2-3=8+6\sqrt2=2(4+3\sqrt2).$$
   Тогда
   $$\frac{6(3+\sqrt2+\sqrt3)}{2(4+3\sqrt2)} = \frac{3(3+\sqrt2+\sqrt3)}{4+3\sqrt2}.$$
   Домножим на сопряжённое к знаменателю:
   $$\frac{3(3+\sqrt2+\sqrt3)(4-3\sqrt2)}{(4+3\sqrt2)(4-3\sqrt2)} = \frac{3(3+\sqrt2+\sqrt3)(4-3\sqrt2)}{16-18} = \frac{3(3+\sqrt2+\sqrt3)(4-3\sqrt2)}{-2}.$$
   Раскроем скобки:
   $$(3+\sqrt2+\sqrt3)(4-3\sqrt2)=3\sqrt2-4.$$
   Значит
   $$\frac{3(3\sqrt2-4)(3+\sqrt2+\sqrt3)}{2}.$$
   Это и есть правая часть.

Ответ

а) $$\frac{2+\sqrt6-\sqrt{10}}{2}$$

б) $$\frac{3(3\sqrt2-4)(3+\sqrt2+\sqrt3)}{2}$$