Упр.625 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

1. а) Представьте в виде произведения степеней простых чисел произведение $$1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot13\cdot14\cdot15$$.
   б) Найдите наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель для чисел:
   1) $$5^2\cdot7^4$$ и $$490\cdot175$$;
   2) $$2^5\cdot3\cdot7$$, $$3^4\cdot5^4\cdot7^2$$ и $$10\,000$$.
   в) На какую наибольшую степень числа $$7$$ делится произведение $$1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot99\cdot100$$?

а) Разложим числа от $$1$$ до $$15$$ на простые множители и соберём степени одинаковых простых чисел:

$$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (2^2) \cdot 5 \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7 \cdot (2^3) \cdot 3^2 \cdot (2 \cdot 5) \cdot 11 \cdot (2^2 \cdot 3) \cdot 13 \cdot (2 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 5)$$
$$= 1 \cdot 2^{1+2+1+3+1+2+1} \cdot 3^{1+1+2+1+1} \cdot 5^{1+1+1} \cdot 7^{1+1} \cdot 11 \cdot 13$$
$$= 1 \cdot 2^{11} \cdot 3^6 \cdot 5^3 \cdot 7^2 \cdot 11 \cdot 13.$$

б1) Найдём разложения на простые множители:

$$490 \cdot 175 = (7 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5)(5 \cdot 5 \cdot 7)=2 \cdot 5^3 \cdot 7^3.$$

Тогда

$$\gcd(5^2 \cdot 7^4,\; 490 \cdot 175)=5^2 \cdot 7^3=25 \cdot 343=8575,$$
$$\operatorname{lcm}(5^2 \cdot 7^4,\; 490 \cdot 175)=2 \cdot 5^3 \cdot 7^4=2 \cdot 125 \cdot 2401=600250.$$

б2) Приведём все числа к простым множителям:

$$2^5 \cdot 3 \cdot 7,\qquad 3^4 \cdot 5^4 \cdot 7^2,\qquad 10000=10^4=2^4 \cdot 5^4.$$

Общих простых множителей у всех трёх чисел нет, значит

$$\gcd=1.$$

Для НОК берём наибольшие степени всех простых чисел:

$$\operatorname{lcm}=2^5 \cdot 3^4 \cdot 5^4 \cdot 7^2 =32 \cdot 81 \cdot 625 \cdot 49 =79380000.$$

в) Найдём наибольшую степень числа $$7$$, на которую делится произведение $$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 100$$.

Считаем, сколько множителей $$7$$ содержится в числах от $$1$$ до $$100$$:

$$\left\lfloor \frac{100}{7} \right\rfloor = 14,\qquad \left\lfloor \frac{100}{49} \right\rfloor = 2.$$

Тогда показатель степени числа $$7$$ в произведении равен

$$14+2=16.$$

Значит, произведение делится на $$7^{16}$$.

Ответ

а) $$1 \cdot 2^{11} \cdot 3^6 \cdot 5^3 \cdot 7^2 \cdot 11 \cdot 13$$;
б1) $$\gcd=8575$$, $$\operatorname{lcm}=600250$$;
б2) $$\gcd=1$$, $$\operatorname{lcm}=79380000$$;
в) $$7^{16}$$.