Упр.554 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
- а) Если к квадрату первого числа прибавить удвоенное второе число, то получится $$-7$$, а если из первого числа вычесть второе, то получится $$11$$. Найдите эти числа.
б) Найдите два числа, если отношение суммы этих чисел к их разности равно $$8:1$$ и разность квадратов этих чисел равна $$128$$. Сколько решений имеет задача?
а) Пусть числа равны $$a$$ и $$b$$. Тогда по условию:
$$\begin{cases} a^2+2b=-7,\\ a-b=11. \end{cases}$$
Из второго уравнения выразим $$b$$:
$$b=a-11.$$
Подставим в первое уравнение:
$$a^2+2(a-11)=-7$$
$$a^2+2a-22+7=0$$
$$a^2+2a-15=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-15)=4+60=64,$$
$$\sqrt{D}=8.$$
$$a_{1,2}=\frac{-2\pm 8}{2}$$
$$a_1=-5,\quad a_2=3.$$
Найдём соответствующие значения $$b$$:
$$b_1=-5-11=-16,\quad b_2=3-11=-8.$$
Значит, числа: $$-5$$ и $$-16$$ или $$3$$ и $$-8$$.
б) Пусть числа равны $$a$$ и $$b$$. Тогда:
$$\begin{cases} \dfrac{a+b}{a-b}=8,\\ a^2-b^2=128. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$a+b=8(a-b)$$
$$a+b=8a-8b$$
$$7a=9b$$
$$a=\dfrac{9}{7}b.$$
Подставим во второе уравнение:
$$a^2-b^2=128$$
$$\left(\dfrac{9}{7}b\right)^2-b^2=128$$
$$\dfrac{81}{49}b^2-b^2=128$$
$$\dfrac{32}{49}b^2=128$$
$$b^2=128\cdot\dfrac{49}{32}=196.$$
$$b=\pm 14.$$
Тогда
$$a=\dfrac{9}{7}b \Rightarrow a=\pm 18.$$
Получаем пары чисел: $$18$$ и $$14$$ или $$-18$$ и $$-14$$. Задача имеет два решения.
Ответ
а) $$-5$$ и $$-16$$; $$3$$ и $$-8$$.
б) $$18$$ и $$14$$; $$-18$$ и $$-14$$. Решений два.
