Упр.462 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Дана функция $$y=2(x-3)^2.$$ Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при квадрате положительный.

а) Вершина параболы находится в точке $$(3;0)$$, ось симметрии — прямая $$x=3$$. Для построения отметим несколько точек:

$$x=2 \Rightarrow y=2(2-3)^2=2,$$
$$x=4 \Rightarrow y=2(4-3)^2=2,$$
$$x=1 \Rightarrow y=2(1-3)^2=8,$$
$$x=5 \Rightarrow y=2(5-3)^2=8.$$

По этим точкам строим график — параболу с вершиной в точке $$(3;0)$$.

б) Область определения функции:

$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

в) Наименьшее значение функция принимает при $$x=3$$ и оно равно $$0$$.

Наибольшего значения функция не принимает.

г) Найдём точки пересечения с осями координат.

С осью $$Ox$$: $$y=0$$, значит

$$2(x-3)^2=0,$$
$$x=3.$$

Точка пересечения: $$(3;0)$$.

С осью $$Oy$$: $$x=0$$, тогда

$$y=2(0-3)^2=2\cdot 9=18.$$

Точка пересечения: $$(0;18)$$.

д) Так как парабола убывает слева от вершины и возрастает справа от неё, то:

• при $$x \in [0;1]$$ значение $$y$$ уменьшается;
• при $$x \in [3;+\infty)$$ значение $$y$$ увеличивается;
• при $$x \in (-\infty;-1]$$ значение $$y$$ уменьшается.

е) Решим неравенства:

$$y>0 \iff 2(x-3)^2>0 \iff x\ne 3,$$

$$y\le 0 \iff 2(x-3)^2\le 0 \iff x=3,$$

$$y>-1.$$

Так как $$2(x-3)^2\ge 0$$ при любых $$x$$, то неравенство $$y>-1$$ выполняется при всех $$x\in(-\infty;+\infty).$$

Ответ

а) Парабола с вершиной $$(3;0)$$, ветви направлены вверх.
б) $$(-\infty;+\infty)$$.
в) Наименьшее значение при $$x=3$$, оно равно $$0$$; наибольшего значения нет.
г) $$Ox: (3;0), \; Oy: (0;18).$$
д) На $$[0;1]$$ — уменьшается; на $$[3;+\infty)$$ — увеличивается; на $$(-\infty;-1]$$ — уменьшается.
е) $$y>0$$ при $$x\in(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$$; $$y\le 0$$ при $$x=3$$; $$y>-1$$ при всех $$x\in(-\infty;+\infty).$$