Упр.422 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

1. Решите систему уравнений:
   а) $$\begin{cases}[x]+\{y\}=-2{,}13,\\[y]+\{x\}=3{,}5;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}x+[y]=6{,}1,\\y+\{x\}=-5{,}6;\end{cases}$$
   в) $$\begin{cases}[x]+\{y\}+z=-0{,}8,\\[y]+\{z\}+x=4{,}95,\\[z]+\{x\}+y=0{,}75.\end{cases}$$

а) Обозначим $$[x]=a,\quad \{x\}=b,\quad [y]=c,\quad \{y\}=d.$$ Тогда

$$\begin{cases} a+d=-2{,}13,\\ c+b=3{,}5. \end{cases}$$

Так как $$x=a+b,\quad y=c+d,$$ то из первого уравнения получаем $$a=-3,\ d=0{,}87,$$ а из второго — $$c=3,\ b=0{,}5.$$

Следовательно,

$$x=b+a=0{,}5+(-3)=-2{,}5,\qquad y=d+c=0{,}87+3=3{,}87.$$

б) Пусть $$[x]=a,\ \{x\}=b,\ [y]=c,\ \{y\}=d.$$ Тогда

$$\begin{cases} a+d=6{,}1,\\ c+b=-5{,}6. \end{cases}$$

Складываем уравнения системы:

$$(a+b)+(c+d)=6{,}1-5{,}6=0{,}5.$$

Но $$a+b=x,\ c+d=y,$$ значит

$$x+y=0{,}5.$$

Из первого уравнения системы имеем $$x+d=6{,}1,$$ а из второго $$y+a=-5{,}6.$$ Подбирая целые части и дробные части, получаем:

$$[x]=12,\quad \{x\}=0{,}1,\quad [y]=-6,\quad \{y\}=0{,}3.$$

Тогда

$$x=12{,}1,\qquad y=-5{,}7.$$

в) Обозначим $$[x]=a,\ \{x\}=b,\ [y]=c,\ \{y\}=d,\ [z]=e,\ \{z\}=f.$$ Тогда

$$\begin{cases} a+d+z=-0{,}8,\\ c+f+x=4{,}95,\\ e+b+y=0{,}75. \end{cases}$$

Сложим первые два уравнения и вычтем третье:

$$(a+d+z)+(c+f+x)-(e+b+y)=-0{,}8+4{,}95-0{,}75.$$

Так как $$x=a+b,\ y=c+d,\ z=e+f,$$ получаем

$$2a+2f=3{,}4,\qquad a+f=1{,}7.$$

Отсюда

$$a=1,\qquad f=0{,}7.$$

Далее из системы находим:

$$c+d=-2{,}5,\qquad e+b=3{,}25.$$

Следовательно,

$$c=-3,\quad d=0{,}5,\quad e=0{,}25,\quad b=3.$$

Тогда

$$x=a+b=1+0{,}25=1{,}25,\qquad y=c+d=-3+0{,}5=-2{,}5,\qquad z=e+f=0{,}25+0{,}7=-2{,}3.$$

Ответ

а) $$x=-2{,}5,\ y=3{,}87$$;
б) $$x=12{,}1,\ y=-5{,}7$$;
в) $$x=1{,}25,\ y=-2{,}5,\ z=-2{,}3$$.