Упр.277 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

1. Уравнение $$x^2+3x-1=0$$ имеет два корня $$x_1$$ и $$x_2$$. Вычислите: а) $$x_1+x_2$$; б) $$x_1\cdot x_2$$; в) $$(x_1+x_2)^2$$; г) $$x_1^2+x_2^2$$; д) $$x_1^3+x_2^3$$; е) $$(x_1-x_2)^2$$.

Для уравнения $$x^2+3x-1=0$$ по теореме Виета имеем:

$$x_1+x_2=-3,$$

$$x_1x_2=-1.$$

Тогда:

а) $$x_1+x_2=-3;$$

б) $$x_1x_2=-1;$$

в) $$\left(x_1+x_2\right)^2=(-3)^2=9;$$

г) $$x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=9-2\cdot(-1)=11;$$

д) $$x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\right).$$

Сначала найдём:

$$x_1^2-x_1x_2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2=9-3\cdot(-1)=12.$$

Тогда

$$x_1^3+x_2^3=(-3)\cdot 12=-36;$$

е) $$\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=9-4\cdot(-1)=13.$$

Ответ

а) $$-3$$; б) $$-1$$; в) $$9$$; г) $$11$$; д) $$-36$$; е) $$13$$.