Упр.24 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Исследуем. Найдите значение $$a$$, при котором уравнение: а) $$|2x-4|=|x-a|$$; б) $$|3x-2|=|x-a|$$ имеет единственный корень.

а) Рассмотрим уравнение $$|2x-4|=|x-a|.$$

Если модули равны, то возможны два случая:

$$2x-4=x-a \quad \text{или} \quad 2x-4=-(x-a).$$

Из первого получаем:

$$2x-4=x-a \\ x=4-a.$$

Из второго получаем:

$$2x-4=-x+a \\ 3x=4+a \\ x=\frac{4+a}{3}.$$

По условию уравнение имеет единственный корень, значит, найденные значения должны совпадать:

$$\frac{4+a}{3}=4-a$$

$$4+a=12-3a$$

$$4a=8$$

$$a=2.$$

б) Рассмотрим уравнение $$|3x-2|=|x-a|.$$

Возможны два случая:

$$3x-2=x-a \quad \text{или} \quad 3x-2=-(x-a).$$

Из первого:

$$3x-2=x-a \\ 2x=2-a \\ x=\frac{2-a}{2}.$$

Из второго:

$$3x-2=-x+a \\ 4x=2+a \\ x=\frac{2+a}{4}.$$

Чтобы корень был единственным, эти значения должны совпадать:

$$\frac{2+a}{4}=\frac{2-a}{2}$$

$$2+a=2(2-a)$$

$$2+a=4-2a$$

$$3a=2$$

$$a=\frac{2}{3}.$$

Ответ

а) $$a=2$$; б) $$a=\frac{2}{3}$$.