Упр.193 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

8. Даны множества: $$A=\{1,2,3\}$$ и $$B=\{2,3,4,5\}$$.

   а) Из каких элементов состоит множество:

   1) $$A\cup B$$;

   2) $$A\cap B$$;

   3) $$A\times B$$?

   б) Составьте множество $$C$$, состоящее из пяти элементов, для которого выполняется условие: $$A\cap C=C\cup B$$.

   в) Запишите все подмножества множеств $$A$$ и $$B$$, определите число подмножеств каждого из этих множеств.

Даны множества $$A=\{1,2,3\}$$ и $$B=\{2,3,4,5\}.$$

1. Найдём объединение, пересечение и декартово произведение.

   $$A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$$
   
   $$A\cap B=\{2,3\}$$
   
   $$A\times B=\{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5)\}$$

2. Пусть $$A\cap C=C\cap B.$$ Тогда элементы множества $$C$$ должны принадлежать одновременно и $$A$$, и $$B$$, то есть лежать в их пересечении.

   Так как $$A\cap B=\{2,3\},$$ можно взять, например, множество из пяти элементов:

   $$C=\{2,3,6,8,9\}.$$

   Тогда

   $$A\cap C=\{2,3\}, \qquad C\cap B=\{2,3\}.$$

3. У множества из $$n$$ элементов число подмножеств равно $$2^n.$$

   Для множества $$A=\{1,2,3\}$$ все подмножества:

   $$\varnothing,\ \{1\},\ \{2\},\ \{3\},\ \{1,2\},\ \{1,3\},\ \{2,3\},\ \{1,2,3\}.$$

   Всего $$2^3=8$$ подмножеств.

   Для множества $$B=\{2,3,4,5\}$$ все подмножества:

   $$\varnothing,\ \{2\},\ \{3\},\ \{4\},\ \{5\},\ \{2,3\},\ \{2,4\},\ \{2,5\},\ \{3,4\},\ \{3,5\},\ \{4,5\},$$
   
   $$\{2,3,4\},\ \{2,3,5\},\ \{2,4,5\},\ \{3,4,5\},\ \{2,3,4,5\}.$$

   Всего $$2^4=16$$ подмножеств.

Ответ

а) $$A\cup B=\{1,2,3,4,5\},\quad A\cap B=\{2,3\},\quad A\times B=\{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5)\}.$$
б) Например, $$C=\{2,3,6,8,9\}.$$
в) Для $$A$$ — 8 подмножеств, для $$B$$ — 16 подмножеств.