Упр.16 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что: а) если $$ab^2$$; б) если $$a0$$, то $$\frac{1}{b}<\frac{1}{a}$$.

а) Пусть $$a<b<0.$$ Тогда при умножении неравенства $$a<b$$ на $$-1$$ знак неравенства меняется:

$$-a>-b>0.$$

Обе части положительны, значит, при возведении в квадрат знак сохраняется:

$$(-a)^2>(-b)^2,$$

то есть

$$a^2>b^2.$$

б) Пусть $$a<b$$ и $$ab>0.$$ Тогда числа $$a$$ и $$b$$ одного знака: либо оба положительные, либо оба отрицательные.

Если $$a>0$$ и $$b>0,$$ то при переходе к обратным величинам знак неравенства меняется:

$$a<b \;\Rightarrow\; \frac{1}{a}>\frac{1}{b},$$

следовательно,

$$\frac{1}{b}<\frac{1}{a}.$$

Если $$a<0$$ и $$b<0,$$ то, умножив неравенство $$a<b$$ на $$\frac{1}{ab}>0,$$ получаем:

$$\frac{a}{ab}<\frac{b}{ab},$$

то есть

$$\frac{1}{b}<\frac{1}{a}.$$

В обоих случаях утверждение верно.

Ответ

а) $$a^2>b^2$$; б) $$\frac{1}{b}<\frac{1}{a}.$$