Упр.zad5 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Пусть первое слагаемое равно $$x$$, тогда второе слагаемое равно $$16-x$$.

Тогда

$$x^3+(16-x)^3=(x+16-x)\bigl(x^2-x(16-x)+(16-x)^2\bigr).$$

Упростим выражение в скобках:

$$x^2-x(16-x)+(16-x)^2=x^2-16x+x^2+256-32x+x^2=3x^2-48x+256.$$

Значит,

$$x^3+(16-x)^3=16(3x^2-48x+256).$$

Приведём к квадрату двучлена:

$$3x^2-48x+256=3(x^2-16x+64)+64=3(x-8)^2+64.$$

Тогда

$$x^3+(16-x)^3=16\bigl(3(x-8)^2+64\bigr).$$

Так как $$3(x-8)^2 \ge 0$$, наименьшее значение выражения достигается при $$x=8$$.

Тогда второе слагаемое тоже равно $$16-8=8$$.

Следовательно, наименьшее значение суммы кубов достигается при равных слагаемых.

Ответ

$$8 \text{ и } 8$$