Упр.40.12 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

Задание учебника 2025 года. Упростите выражение:
а) $$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$$;
б) $$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$$.
Задание учебника 2019 года. Составляют квадратичную функцию $$y=ax^2+c$$. Сначала наудачу выбирают старший коэффициент $$a\in\{-1;1;2\}$$, затем свободный коэффициент $$c\in\{-1;0;1;2\}$$. После этого изображают соответствующую параболу. Какова вероятность того, что полученная парабола:
а) не пересечёт ось Оу;
б) будет симметрична относительно оси Оу;
в) будет иметь общую точку с осью Ох;
г) коснётся оси Ох;
д) пересечёт ось Ох в двух точках;
е) пройдёт через точку $$(1;0)$$?

Подробный ответ

а)

$$\frac{\sqrt6-\sqrt2}{\sqrt6+\sqrt2}-\frac{\sqrt6+\sqrt2}{\sqrt6-\sqrt2} = \frac{(\sqrt6-\sqrt2)^2-(\sqrt6+\sqrt2)^2}{(\sqrt6-\sqrt2)(\sqrt6+\sqrt2)}$$

$$=\frac{(6-2\sqrt{12}+2)-(6+2\sqrt{12}+2)}{6-2} =\frac{-4\sqrt{12}}{4} =-\sqrt{12}=-2\sqrt3$$

б)

$$\frac{\sqrt7-\sqrt3}{\sqrt7+\sqrt3}-\frac{\sqrt7+\sqrt3}{\sqrt7-\sqrt3} = \frac{(\sqrt7-\sqrt3)^2-(\sqrt7+\sqrt3)^2}{(\sqrt7-\sqrt3)(\sqrt7+\sqrt3)}$$

$$=\frac{(7-2\sqrt{21}+3)-(7+2\sqrt{21}+3)}{7-3} =\frac{-4\sqrt{21}}{4} =-\sqrt{21}$$

Ответ

а) $$-2\sqrt3$$; б) $$-\sqrt{21}$$.

Всего равновозможных исходов:

$$N=3\cdot 4=12$$

Здесь $$a\in\{-1,1,2\}$$, $$c\in\{-1,0,1,2\}$$.

а) Парабола не пересечёт ось $$Oy$$ — таких вариантов нет, так как график функции $$y=ax^2+c$$ всегда проходит через точку $$\left(0;c\right)$$. Значит,
$$P= \frac{0}{12}=0$$
б) Парабола симметрична относительно оси $$Oy$$ при любом выборе $$a$$ и $$c$$, поэтому
$$P=\frac{12}{12}=1$$
в) Общая точка с осью $$Ox$$ есть тогда и только тогда, когда уравнение $$ax^2+c=0$$ имеет хотя бы одно решение. Таких вариантов 7, значит
$$P=\frac{7}{12}$$
г) Парабола касается оси $$Ox$$ при $$c=0$$. Таких вариантов 3:
$$P=\frac{3}{12}=\frac14$$
д) Парабола пересекает ось $$Ox$$ в двух точках в 4 случаях, поэтому
$$P=\frac{4}{12}=\frac13$$
е) График проходит через точку $$\left(1;0\right)$$, если
$$0=a\cdot 1^2+c$$
$$a=-c$$
Таких вариантов 2, значит
$$P=\frac{2}{12}=\frac16$$