Упр.36.19 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- а) Из пункта A одновременно выехали грузовой и легковой автомобили, один на север, другой на восток. Скорость легкового автомобиля на $$20\ \text{км/ч}$$ больше скорости грузового. Через $$1{,}5\ \text{ч}$$ расстояние (по прямой) между ними составляло $$150\ \text{км}$$. Найдите скорости автомобилей.
б) От вершины прямого угла по его сторонам одновременно начали движение две материальные точки. Скорость одной из них на $$7\ \text{см/с}$$ больше, чем скорость другой. Через $$3\ \text{с}$$ расстояние между ними стало $$39\ \text{см}$$. Найдите скорость каждой материальной точки. - Известно, что $$a>3$$. Какой знак имеет выражение:
а) $$(a-4)^2(a-3)$$;
в) $$\frac{(a+1)^2(3-a)}{a+2}$$;
б) $$\frac{a-3}{(a+4)^2(5-a)}$$;
г) $$(a-3)^2(a-6)$$?
Пусть скорость грузового автомобиля равна $$x$$ км/ч, тогда скорость легкового автомобиля равна $$x+20$$ км/ч.
За $$1{,}5$$ ч они проедут соответственно $$1{,}5x$$ км и $$1{,}5(x+20)$$ км. Так как направления движения взаимно перпендикулярны, используем теорему Пифагора:
$$(1{,}5x)^2+(1{,}5(x+20))^2=150^2$$
$$2{,}25x^2+2{,}25(x+20)^2=22500$$
$$2{,}25x^2+2{,}25(x^2+40x+400)=22500$$
$$4{,}5x^2+90x+900=22500$$
$$4{,}5x^2+90x-21600=0$$
Разделим на $$4{,}5$$:
$$x^2+20x-4800=0$$
$$D=20^2+4\cdot 4800=19600=140^2$$
$$x=\frac{-20\pm 140}{2}$$
Подходит только положительный корень:
$$x=60$$
Тогда скорость легкового автомобиля:
$$60+20=80$$
Пусть скорость первой точки равна $$x$$ см/с, тогда скорость второй точки равна $$x+7$$ см/с.
За $$3$$ с они пройдут соответственно $$3x$$ см и $$3(x+7)$$ см. Так как движение происходит по взаимно перпендикулярным сторонам прямого угла, получаем:
$$(3x)^2+\bigl(3(x+7)\bigr)^2=39^2$$
$$9x^2+9(x+7)^2=1521$$
$$9x^2+9(x^2+14x+49)=1521$$
$$18x^2+126x-1080=0$$
Разделим на $$18$$:
$$x^2+7x-60=0$$
$$D=7^2+4\cdot 60=289=17^2$$
$$x=\frac{-7\pm 17}{2}$$
Подходит только положительный корень:
$$x=5$$
Тогда скорость второй точки:
$$5+7=12$$
Так как $$a>3$$, то $$a-3>0$$, $$a+2>0$$, $$a+4>0$$.
а) $$\,(a-4)^2(a-3)\ge 0$$, так как $$\,(a-4)^2\ge 0$$ и $$a-3>0$$.
б) $$\dfrac{a-3}{(a+4)^2(5-a)}$$ имеет знак знаменателя, противоположный знаку $$5-a$$, поэтому:
$$\frac{a-3}{(a+4)^2(5-a)} > 0 \quad \text{при } 3<a<5,$$
$$\frac{a-3}{(a+4)^2(5-a)} < 0 \quad \text{при } a>5.$$
в) $$\dfrac{(a+1)^2(3-a)}{a+2}<0$$, так как $$\,(a+1)^2>0$$, $$a+2>0$$, а $$3-a<0$$ при $$a>3$$.
г) $$\,(a-3)^2(a-6)$$: множитель $$\,(a-3)^2\ge 0$$, поэтому знак выражения определяется знаком $$a-6$$.
Следовательно,
$$(a-3)^2(a-6)\ge 0 \quad \text{при } a\ge 6,$$
$$(a-3)^2(a-6)\le 0 \quad \text{при } 3<a\le 6.$$
Ответ
а) $$60$$ км/ч и $$80$$ км/ч; б) $$5$$ см/с и $$12$$ см/с; в) а) неотрицательное, б) положительное при $$3<a<5$$ и отрицательное при $$a>5$$, в) отрицательное, г) неотрицательное при $$a\ge 6$$ и неположительное при $$3<a\le 6$$.
