Упр.35.4 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
Задание учебника 2025 года. Проверьте справедливость утверждения:
а) число 2 является корнем уравнения $$2x^2 — 3x — 2 = 0$$;
б) число 5 является корнем уравнения $$3x^2 — 8x — 25 = 0$$;
в) числа 0 и 8 являются корнями уравнения $$x^2 — 8x = 0$$;
г) число −3 не является корнем уравнения $$2x^2 + 4x — 7 = 0$$;
д) число 4 не является корнем уравнения $$3x^2 — 10x — 8 = 0$$;
е) числа −6 и 6 являются корнями уравнения $$0{,}5x^2 — 18 = 0$$.
Задание учебника 2019 года. При каких значениях параметра $$p$$ заданное уравнение является неполным квадратным уравнением:
а) $$x^2 + (p^2 — 1)x + 2p — 6 = 0$$;
б) $$6x^2 + (p — 1)x + 2 — 4p = 0$$;
в) $$(p — 2)x^2 + 3x + p = 0$$;
г) $$3x^2 — (2p + 3)x + 2 + p = 0$$;
д) $$x^2 + (p^2 — 4)x + p^2 — 2p — 8 = 0$$;
е) $$(6 — p)x^2 + (2p + 6)(x + 3) = 0$$?
Проверим подстановкой.
а) $$2x^2-3x-2=0,\quad x=2$$
$$2\cdot 2^2-3\cdot 2-2=8-6-2=0$$
Число $$2$$ является корнем уравнения.
б) $$3x^2-8x-25=0,\quad x=5$$
$$3\cdot 5^2-8\cdot 5-25=75-40-25=10\neq 0$$
Число $$5$$ не является корнем уравнения.
в) $$x^2-8x=0$$
$$x(x-8)=0,\quad x_1=0,\ x_2=8$$
Числа $$0$$ и $$8$$ являются корнями уравнения.
г) $$2x^2+4x-7=0,\quad x=-3$$
$$2\cdot (-3)^2+4\cdot (-3)-7=18-12-7=-1\neq 0$$
Число $$-3$$ не является корнем уравнения.
д) $$3x^2-10x-8=0,\quad x=4$$
$$3\cdot 4^2-10\cdot 4-8=48-40-8=0$$
Число $$4$$ является корнем уравнения.
е) $$0{,}5x^2-18=0,\quad x=-6,\ 6$$
$$0{,}5\cdot (-6)^2-18=18-18=0$$
$$0{,}5\cdot 6^2-18=18-18=0$$
Числа $$-6$$ и $$6$$ являются корнями уравнения.
Неполное квадратное уравнение имеет вид $$ax^2+bx+c=0$$, где $$a\neq 0$$ и хотя бы один из коэффициентов $$b$$ или $$c$$ равен нулю.
а) $$x^2+(p^2-1)x+2p-6=0$$
$$p^2-1=0 \Rightarrow p=\pm 1$$
$$2p-6=0 \Rightarrow p=3$$
Ответ: $$p=\pm 1$$ или $$p=3$$.
б) $$6x^2+(p-1)x+2-4p=0$$
$$p-1=0 \Rightarrow p=1$$
$$2-4p=0 \Rightarrow p=\frac12$$
Ответ: $$p=1$$ или $$p=\frac12$$.
в) $$(p-2)x^2+3x+p=0$$
Чтобы уравнение было квадратным, нужно $$p-2\neq 0$$, то есть $$p\neq 2$$.
Чтобы оно было неполным, нужно $$p=0$$ или $$3=0$$. Второе невозможно, значит
$$p=0$$.
Ответ: $$p=0$$.
г) $$3x^2-(2p+3)x+2+p=0$$
$$2p+3=0 \Rightarrow p=-\frac32$$
$$2+p=0 \Rightarrow p=-2$$
Ответ: $$p=-\frac32$$ или $$p=-2$$.
д) $$x^2+(p^2-4)x+p^2-2p-8=0$$
$$p^2-4=0 \Rightarrow p=\pm 2$$
$$p^2-2p-8=0$$
$$D=4+32=36$$
$$p=\frac{2\pm 6}{2}$$
$$p_1=-2,\quad p_2=4$$
Ответ: $$p=\pm 2$$ или $$p=4$$.
е) $$(6-p)x^2+(2p+6)(x+3)=0$$
Раскроем скобки:
$$(6-p)x^2+(2p+6)x+6p+18=0$$
Нужно, чтобы $$6-p\neq 0$$ и хотя бы один из коэффициентов при $$x$$ или свободный член был равен нулю:
$$2p+6=0 \Rightarrow p=-3$$
$$6p+18=0 \Rightarrow p=-3$$
Ответ: $$p=-3$$.
Ответ
1) а) верно; б) неверно; в) верно; г) верно; д) неверно; е) верно.
2) а) $$p=\pm 1$$ или $$p=3$$; б) $$p=1$$ или $$p=\frac12$$; в) $$p=0$$; г) $$p=-\frac32$$ или $$p=-2$$; д) $$p=\pm 2$$ или $$p=4$$; е) $$p=-3$$.
