Упр.31.7 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

Постройте график функции $$y=v(x+2)-2$$.
а) Найдите область определения функции.
б) Найдите область значений функции.
в) Укажите координаты точек пересечения графика с осями координат.
г) Найдите значения аргумента, при которых $$y>0$$, $$y<0$$.
Решите графически уравнение:
а) $$-\frac{4}{x}=-2x+2$$;
г) $$-\frac{4}{x}=-0{,}5x+1$$;
б) $$-\frac{6}{x}=-x-1$$;
д) $$-\frac{6}{x}=-3x+3$$;
в) $$-\frac{8}{x}=-4(x+1)^2+8$$;
е) $$-\frac{8}{x}=4(x-1)^2-8$$.

Подробный ответ

1) Построим график функции $$y=\sqrt{x+2}-2.$$

График функции $$y=\sqrt{x}$$ сдвигаем на 2 единицы влево вдоль оси $$Ox$$ и на 2 единицы вниз вдоль оси $$Oy$$.

а) Область определения: $$x+2\ge 0,$$ значит $$x\ge -2.$$ Поэтому $$D(y)=[-2;+\infty).$$

б) Так как $$\sqrt{x+2}\ge 0,$$ то $$y=\sqrt{x+2}-2\ge -2.$$ Следовательно, область значений: $$E(y)=[-2;+\infty).$$

в) Найдём точки пересечения с осями координат.

С осью $$Oy$$: при $$x=0$$ получаем $$y=\sqrt{2}-2\approx -0{,}6,$$ значит точка $$\left(0;\sqrt{2}-2\right).$$

С осью $$Ox$$: при $$y=0$$ имеем

$$\sqrt{x+2}-2=0 \\ \sqrt{x+2}=2 \\ x+2=4 \\ x=2.$$

Точка пересечения с осью $$Ox$$: $$\left(2;0\right).$$

г) Найдём, при каких $$x$$ функция положительна и отрицательна:

$$\sqrt{x+2}-2>0 \\ \sqrt{x+2}>2 \\ x>2,$$

$$\sqrt{x+2}-2<0 \\ \sqrt{x+2}<2 \\ -2\le x<2.$$

2) Решим графически уравнения, сравнивая графики функций.

$$-\frac{4}{x}=-2x+2.$$
Точки пересечения графиков соответствуют решениям уравнения: $$x=-1$$ и $$x=2.$$
$$-\frac{6}{x}=-x-1.$$
Решения: $$x=-3$$ и $$x=2.$$
$$-\frac{8}{x}=-4(x+1)^2+8.$$
Решения: $$x=-2,$$ $$x=-1$$ и $$x=1.$$
$$-\frac{4}{x}=-0{,}5x+1.$$
Решения: $$x=-2$$ и $$x=4.$$
$$-\frac{6}{x}=-3x+3.$$
Решения: $$x=-1$$ и $$x=2.$$
$$-\frac{8}{x}=4(x-1)^2-8.$$
Решения: $$x=-1,$$ $$x=1$$ и $$x=2.$$