Упр.31.6 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
а) $$y=-0{,}2(x+1)^2-1$$ на отрезке $$[-3;1]$$;
б) $$y=\sqrt{x+2}-3$$ на отрезке $$[-2;2]$$;
в) $$y=-|x+1|-3$$ на полуинтервале $$(-2;2]$$;
г) $$y=2(x-1)^2+3$$ на отрезке $$[0;1]$$;
д) $$y=-\sqrt{x-4}+2$$ на отрезке $$[4;8]$$;
е) $$y=|x-1|+3$$ на луче $$[0;+\infty)$$.
Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=-\frac{12}{x}$$. Найдите:
а) $$f(-6),\ f(-3),\ f\left(\frac{1}{3}\right)$$;
г) $$f(-4),\ f(1),\ f\left(-1\frac{1}{3}\right)$$;
б) $$f(a),\ f(-a),\ f(-2a)$$;
д) $$f(3b),\ f(-3b),\ f\left(\frac{1}{3}b\right)$$;
в) $$f(-x^2),\ \frac{1}{3}f(x^3)+2,\ f\left(\frac{1}{x}\right)$$;
е) $$f(x^3),\ \frac{1}{4}f(x^2+1),\ f\left(-\frac{1}{x^2}\right)$$.
а) $$y=-0{,}2(x+1)^2-1$$ — парабола, ветви направлены вниз. Вершина $$(-1;\,-1)$$.
На отрезке $$[-3;1]$$ наибольшее значение достигается в вершине:
$$y_{\max}=-1.$$
Наименьшее значение найдём на концах отрезка:
$$y(-3)=-0{,}2\cdot(-3+1)^2-1=-0{,}2\cdot4-1=-1{,}8,$$
$$y(1)=-0{,}2\cdot(1+1)^2-1=-0{,}2\cdot4-1=-1{,}8.$$
Значит, $$y_{\min}=-1{,}8.$$
б) $$y=\sqrt{x+2}-3.$$ Функция возрастает на своей области определения $$x\ge -2$$.
На отрезке $$[-2;2]$$:
$$y_{\min}=y(-2)=\sqrt{0}-3=-3,$$
$$y_{\max}=y(2)=\sqrt{4}-3=2-3=-1.$$
в) $$y=-|x+1|-3.$$ Это функция с ветвями вниз, наибольшее значение в вершине $$(-1;\,-3)$$.
На полуинтервале $$(-2;2]$$:
$$y_{\max}=-3.$$
Наименьшее значение достигается при $$x=2$$:
$$y_{\min}=-|2+1|-3=-3-3=-6.$$
г) $$y=2(x-1)^2+3$$ — парабола, ветви направлены вверх. Вершина $$(1;\,3)$$.
На отрезке $$[0;1]$$:
$$y_{\min}=y(1)=3,$$
$$y_{\max}=y(0)=2\cdot(0-1)^2+3=2+3=5.$$
д) $$y=-\sqrt{x-4}+2.$$ Область определения: $$x\ge 4$$. Функция убывает.
На отрезке $$[4;8]$$:
$$y_{\max}=y(4)=-\sqrt{0}+2=2,$$
$$y_{\min}=y(8)=-\sqrt{8-4}+2=-\sqrt{4}+2=-2+2=0.$$
е) $$y=|x-1|+3.$$ Это функция с ветвями вверх, наименьшее значение в вершине $$(1;\,3)$$.
На луче $$[0;+\infty)$$:
$$y_{\min}=3,$$
наибольшего значения не существует.
Дана функция $$f(x)=-\dfrac{12}{x}.$$
а)
$$f(-6)=-\dfrac{12}{-6}=2,$$
$$f(-3)=-\dfrac{12}{-3}=4,$$
$$f\!\left(\dfrac13\right)=-\dfrac{12}{1/3}=-36.$$
б)
$$f(a)=-\dfrac{12}{a},$$
$$f(-a)=-\dfrac{12}{-a}=\dfrac{12}{a},$$
$$f(-2a)=-\dfrac{12}{-2a}=\dfrac{6}{a}.$$
в)
$$f(-x^2)=-\dfrac{12}{-x^2}=\dfrac{12}{x^2},$$
$$\dfrac13 f(x^3)+2=\dfrac13\left(-\dfrac{12}{x^3}\right)+2=-\dfrac{4}{x^3}+2,$$
$$f\!\left(\dfrac1x\right)=-\dfrac{12}{1/x}=-12x.$$
г)
$$f(-4)=-\dfrac{12}{-4}=3,$$
$$f(1)=-\dfrac{12}{1}=-12,$$
$$f\!\left(-1\dfrac13\right)=f\!\left(-\dfrac43\right)=-\dfrac{12}{-4/3}=9.$$
д)
$$f(3b)=-\dfrac{12}{3b}=-\dfrac{4}{b},$$
$$f(-3b)=-\dfrac{12}{-3b}=\dfrac{4}{b},$$
$$f\!\left(\dfrac13 b\right)=-\dfrac{12}{b/3}=-\dfrac{36}{b}.$$
е)
$$f(x^3)=-\dfrac{12}{x^3},$$
$$\dfrac14 f(x^2+1)=\dfrac14\left(-\dfrac{12}{x^2+1}\right)=-\dfrac{3}{x^2+1},$$
$$f\!\left(-\dfrac1{x^2}\right)=-\dfrac{12}{-1/x^2}=12x^2.$$
Ответ
1) а) $$y_{\max}=-1,\ y_{\min}=-1{,}8$$; б) $$y_{\max}=-1,\ y_{\min}=-3$$; в) $$y_{\max}=-3,\ y_{\min}=-6$$; г) $$y_{\max}=5,\ y_{\min}=3$$; д) $$y_{\max}=2,\ y_{\min}=0$$; е) $$y_{\min}=3,$$ наибольшего значения не существует.
2) а) $$2,\ 4,\ -36$$; б) $$-\dfrac{12}{a},\ \dfrac{12}{a},\ \dfrac{6}{a}$$; в) $$\dfrac{12}{x^2},\ -\dfrac{4}{x^3}+2,\ -12x$$; г) $$3,\ -12,\ 9$$; д) $$-\dfrac{4}{b},\ \dfrac{4}{b},\ -\dfrac{36}{b}$$; е) $$-\dfrac{12}{x^3},\ -\dfrac{3}{x^2+1},\ 12x^2$$.
