Упр.30.14 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а)

$$\frac{3}{3+2\sqrt5}+\frac{3}{3-2\sqrt5} =\frac{3(3-2\sqrt5)+3(3+2\sqrt5)}{(3+2\sqrt5)(3-2\sqrt5)}$$
$$=\frac{9-6\sqrt5+9+6\sqrt5}{9-20} =\frac{18}{-11} =-\frac{18}{11}.$$

$$\frac{5}{1+4\sqrt3}+\frac{5}{1-4\sqrt3} =\frac{5(1-4\sqrt3)+5(1+4\sqrt3)}{(1+4\sqrt3)(1-4\sqrt3)}$$
$$=\frac{5-20\sqrt3+5+20\sqrt3}{1-48} =\frac{10}{-47} =-\frac{10}{47}.$$

б)

$$f(x)= \begin{cases} \dfrac{6}{x}, & -6 \le x < -1,\\ -(x-1)^2-2, & -1 \le x < 2,\\ 2x-7, & 2 \le x \le 5. \end{cases}$$

а)

$$f(-3)=\frac{6}{-3}=-2,$$
$$f(0)=-(0-1)^2-2=-1-2=-3,$$
$$f(2)=2\cdot 2-7=4-7=-3.$$

б) Построим график по частям.

Для $$y=\dfrac{6}{x}$$ при $$-6 \le x < -1$$ получаем точки: $$(-6,-1),\;(-3,-2),\;(-2,-3),\;(-1,-6).$$

Для $$y=-(x-1)^2-2$$ при $$-1 \le x < 2$$ вершина параболы — точка $$(1,-2)$$, ветви направлены вниз.

Для $$y=2x-7$$ при $$2 \le x \le 5$$ получаем точки:
$$(2,-3),\;(5,3).$$

в)

$$-(x-1)^2-2=-3 \Rightarrow (x-1)^2=1 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=2.$$
С учётом промежутков получаем:
$$f(x)=-3 \text{ при } x=-2,\;0,\;2.$$

$$\frac{6}{x}=-1 \Rightarrow x=-6,$$
$$2x-7=-1 \Rightarrow x=3.$$
Значит,
$$f(x)=-1 \text{ при } x=-6,\;3.$$

$$\frac{6}{x}=-2 \Rightarrow x=-3,$$
$$-(x-1)^2-2=-2 \Rightarrow x=1,$$
$$2x-7=-2 \Rightarrow x=\frac{5}{2}.$$
Значит,
$$f(x)=-2 \text{ при } x=-3,\;1,\;\frac{5}{2}.$$

г)

$$D(f)=[-6;5].$$

$$f(x)=0 \text{ при } x=\frac{7}{2}.$$

$$f(x)<0 \text{ при } x\in[-6;\tfrac{7}{2}), \qquad f(x)>0 \text{ при } x\in(\tfrac{7}{2};5].$$

Функция убывает на $$[-6;-1]$$ и $$[1;2]$$, возрастает на $$[-1;1]$$ и $$[2;5]$$.

Наибольшее значение: $$f_{\max}=3$$, наименьшее значение: $$f_{\min}=-6$$.

Область значений:
$$E(f)=[-6;3].$$

Ответ

а) $$-\dfrac{18}{11}$$; $$-\dfrac{10}{47}$$.
б) $$f(-3)=-2,\; f(0)=-3,\; f(2)=-3$$.
в) $$f(x)=-3$$ при $$x=-2,0,2$$; $$f(x)=-1$$ при $$x=-6,3$$; $$f(x)=-2$$ при $$x=-3,1,\dfrac{5}{2}$$.
г) $$D(f)=[-6;5]$$, $$E(f)=[-6;3]$$.