Упр.30.10 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Дана функция $$y=f(x)$$, где
$$f(x)=\begin{cases} 1, & \text{если } -4\leq x<-2,\\ -0{,}5x^2+3, & \text{если } -2\leq x<2,\\ \frac{x}{2}, & \text{если } 2\leq x\leq 4. \end{cases}$$
а) Постройте график функции $$y=f(x)$$.
б) Перечислите свойства функции.
в) Установите, при каких значениях параметра $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$ имеет один корень; три корня. - Решите графически уравнение:
а) $$\frac{2}{x}=-x+3$$;
г) $$\frac{3}{x}=-x-4$$;
б) $$\frac{6}{x}=2x+4$$;
д) $$\frac{6}{x}=\frac{1}{2}x+2$$;
в) $$\frac{8}{x}=-\frac{1}{4}(x+2)^2-4$$;
е) $$\frac{8}{x}=(x-1)^2+3$$.
Функция задана по частям:
$$f(x)= \begin{cases} 1, & -4 \le x < -2,\\ -0{,}5x^2+3, & -2 \le x < 2,\\ \dfrac{x}{2}, & 2 \le x \le 4. \end{cases}$$
а) Построим график по частям.
- На отрезке $$[-4;-2)$$ график — горизонтальный отрезок $$y=1$$.
- На промежутке $$[-2;2)$$ график — ветвь параболы $$y=-0{,}5x^2+3$$, вершина в точке $$\left(0;3\right)$$.
- На отрезке $$[2;4]$$ график — отрезок прямой $$y=\dfrac{x}{2}$$ от точки $$\left(2;1\right)$$ до точки $$\left(4;2\right)$$.
б) Найдём свойства функции.
Область определения: $$D(f)=[-4;4].$$
Так как на каждом из промежутков значения функции положительны, то $$f(x)>0$$ при $$x\in[-4;4].$$
Функция убывает на $$[0;2]$$, возрастает на $$[-2;0]$$ и $$[2;4].$$
Наибольшее значение: $$y_{\max}=3$$, наименьшее значение: $$y_{\min}=1.$$
Функция непрерывна на своей области определения.
Область значений: $$E(f)=[1;3].$$
в) Рассмотрим уравнение $$f(x)=p$$.
Один корень оно имеет при $$p=3$$.
Три корня оно имеет при $$1<p\le 2.$$
Графическое решение уравнений:
$$\dfrac{2}{x}=-x+3$$
Ответ: $$x=1$$ и $$x=2.$$
$$\dfrac{6}{x}=2x+4$$
Ответ: $$x=-3$$ и $$x=1.$$
$$\dfrac{8}{x}=-\dfrac14(x+2)^2-4$$
Ответ: $$x=-2.$$
$$\dfrac{3}{x}=-x-4$$
Ответ: $$x=-3$$ и $$x=-1.$$
$$\dfrac{6}{x}=\dfrac12x+2$$
Ответ: $$x=-6$$ и $$x=2.$$
$$\dfrac{8}{x}=(x-1)^2+3$$
Ответ: $$x=2.$$
Ответ
а) График состоит из отрезка $$y=1$$ на $$[-4;-2)$$, ветви параболы $$y=-0{,}5x^2+3$$ на $$[-2;2)$$ и отрезка прямой $$y=\dfrac{x}{2}$$ на $$[2;4]$$.
б) $$D(f)=[-4;4]$$, $$E(f)=[1;3]$$; функция положительна на всей области определения, убывает на $$[0;2]$$, возрастает на $$[-2;0]$$ и $$[2;4]$$, $$y_{\max}=3$$, $$y_{\min}=1$$.
в) Один корень при $$p=3$$; три корня при $$1<p\le 2$$.
Уравнения: а) $$x=1,2$$; б) $$x=-3,1$$; в) $$x=-2$$; г) $$x=-3,-1$$; д) $$x=-6,2$$; е) $$x=2$$.
