Упр.29.17 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Постройте график данной функции:
а) $$y=\frac{|x|}{x}(x-2)^2$$;
б) $$y=\frac{x-2}{|2-x|}\sqrt{x+4}$$;
в) $$y=\frac{x+2}{|x+2|}(x^2+4x+4)$$;
г) $$y=\frac{1-x}{x-1}(x-3)^2$$;
д) $$y=\frac{x}{|x|}\sqrt{x-5}$$;
е) $$y=\frac{|x-3|}{x-3}(x^2-10x+25)$$. - Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=-x^2+4x+p$$. Найдите значение параметра $$p$$, если известно, что наибольшее значение функции $$y=f(x)$$ равно $$2$$. Постройте график функции $$y=f(x)$$ при найденном значении параметра.
а) $$y=\frac{|x|}{x}(x-2)^2.$$
Если $$x>0,$$ то $$\frac{|x|}{x}=1,$$ значит $$y=(x-2)^2.$$
Если $$x<0,$$ то $$\frac{|x|}{x}=-1,$$ значит $$y=-(x-2)^2.$$
Итак,
$$y= \begin{cases} (x-2)^2, & x>0,\\ -(x-2)^2, & x<0. \end{cases}$$
б) $$y=\frac{x-2}{|2-x|}\sqrt{x+4}.$$
Так как $$|2-x|=|x-2|,$$ то при $$x>2$$ имеем $$\frac{x-2}{|x-2|}=1,$$ а при $$x<2$$ имеем $$\frac{x-2}{|x-2|}=-1.$$
Кроме того, $$x+4\ge 0,$$ то есть $$x\ge -4.$$
Следовательно,
$$y= \begin{cases} -\sqrt{x+4}, & -4\le x<2,\\ \sqrt{x+4}, & x>2. \end{cases}$$
в) $$y=\frac{x+2}{|x+2|}(x^2+4x+4).$$
Заметим, что $$x^2+4x+4=(x+2)^2.$$ Тогда
$$y=\frac{x+2}{|x+2|}(x+2)^2.$$
Если $$x>-2,$$ то $$\frac{x+2}{|x+2|}=1,$$ значит $$y=(x+2)^2.$$
Если $$x<-2,$$ то $$\frac{x+2}{|x+2|}=-1,$$ значит $$y=-(x+2)^2.$$
Итак,
$$y= \begin{cases} (x+2)^2, & x>-2,\\ -(x+2)^2, & x<-2. \end{cases}$$
г) $$y=\frac{1-x}{x-1}(x-3)^2.$$
Так как $$1-x=-(x-1),$$ то при $$x\ne 1$$
$$\frac{1-x}{x-1}=-1.$$
Если $$x<1,$$ то $$\frac{1-x}{x-1}=-1,$$ значит $$y=-(x-3)^2.$$
Если $$x>1,$$ то $$\frac{1-x}{x-1}=1,$$ значит $$y=(x-3)^2.$$
Следовательно,
$$y= \begin{cases} -(x-3)^2, & x<1,\\ (x-3)^2, & x>1. \end{cases}$$
д) $$y=\frac{x}{|x|}\sqrt{x-5}.$$
Область определения: $$x-5\ge 0,$$ то есть $$x\ge 5.$$
При $$x\ge 5$$ число $$x>0,$$ поэтому $$\frac{x}{|x|}=1.$$ Тогда
$$y=\sqrt{x-5}, \quad x\ge 5.$$
е) $$y=\frac{|x-3|}{x-3}(x^2-10x+25).$$
Заметим, что $$x^2-10x+25=(x-5)^2.$$ Тогда
$$y=\frac{|x-3|}{x-3}(x-5)^2.$$
Если $$x>3,$$ то $$\frac{|x-3|}{x-3}=1,$$ значит $$y=(x-5)^2.$$
Если $$x<3,$$ то $$\frac{|x-3|}{x-3}=-1,$$ значит $$y=-(x-5)^2.$$
Итак,
$$y= \begin{cases} (x-5)^2, & x>3,\\ -(x-5)^2, & x<3. \end{cases}$$
Параметр. $$f(x)=-x^2+4x+p.$$
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Координата вершины по оси $$x$$ равна
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2.$$
Значит, наибольшее значение функции достигается в вершине. По условию оно равно $$2,$$ следовательно, вершина имеет координаты $$(2;2).$$
Подставим $$x=2$$ и $$y=2$$ в формулу:
$$2=-2^2+4\cdot 2+p$$
$$2=-4+8+p$$
$$2=4+p$$
$$p=-2.$$
Тогда функция имеет вид $$y=-x^2+4x-2.$$
Её вершина: $$(2;2),$$ ось симметрии: $$x=2.$$
Ответ
а) $$y= \begin{cases} (x-2)^2, & x>0,\\ -(x-2)^2, & x<0; \end{cases}$$
б) $$y= \begin{cases} -\sqrt{x+4}, & -4\le x<2,\\ \sqrt{x+4}, & x>2; \end{cases}$$
в) $$y= \begin{cases} (x+2)^2, & x>-2,\\ -(x+2)^2, & x<-2; \end{cases}$$
г) $$y= \begin{cases} -(x-3)^2, & x<1,\\ (x-3)^2, & x>1; \end{cases}$$
д) $$y=\sqrt{x-5}, \ x\ge 5;$$
е) $$y= \begin{cases} (x-5)^2, & x>3,\\ -(x-5)^2, & x<3; \end{cases}$$
$$p=-2.$$
