Упр.28.19 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение: а) $$\frac{1-b^{-1}+b}{1-b-b^2}$$; б) $$\left(ab^{-1}-a^{-1}b\right)(a-b)^{-1}$$.

а) Преобразуем дробь:

$$\frac{1-b^{-1}+b}{1-b-b^2} = \frac{1-\frac{1}{b}+b}{1-b-b^2} = \frac{b-1+b^2}{b(1-b-b^2)}$$

Заметим, что
$$b-1+b^2=-(1-b-b^2).$$
Тогда
$$\frac{b-1+b^2}{b(1-b-b^2)} = \frac{-(1-b-b^2)}{b(1-b-b^2)} = -\frac{1}{b}.$$

б) Упростим выражение:

$$(ab^{-1}-a^{-1}b)(a-b)^{-1} = \left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)\frac{1}{a-b}$$

Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{a}{b}-\frac{b}{a} = \frac{a^2-b^2}{ab} = \frac{(a-b)(a+b)}{ab}.$$
Тогда
$$\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)\frac{1}{a-b} = \frac{(a-b)(a+b)}{ab}\cdot\frac{1}{a-b} = \frac{a+b}{ab}.$$

Ответ

а) $$-\frac{1}{b}$$; б) $$\frac{a+b}{ab}$$.