Упр.28.17 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

Постройте график функции. Найдите значения параметра $$p$$, при которых прямая $$y=p$$ имеет с графиком ровно одну общую точку:
а) $$y=\frac{3x^2-3x^3}{x-1}$$;
б) $$y=\frac{-\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{3}x^2}{x-2}$$.
Сколько целых чисел содержится в решении системы неравенств:
$$\begin{cases} \frac{3x+1}{3}-\frac{5x+2}{6}\ ?\ \frac{x-3}{12},\\ \frac{x}{2}+\frac{x}{3}-\frac{x}{4}+\frac{x}{5}\ ?\ \frac{47}{120} \end{cases}$$

Подробный ответ

а) Упростим выражение:

$$y=\frac{3x^2-3x^3}{x-1}=\frac{3x^2(1-x)}{x-1}=\frac{-3x^2(x-1)}{x-1}=-3x^2,\quad x\ne 1.$$

График функции — парабола $$y=-3x^2$$ с выколотой точкой при $$x=1$$, то есть точка $$\left(1,-3\right)$$ не принадлежит графику.

Прямая $$y=p$$ имеет с графиком ровно одну общую точку в двух случаях:

если она касается параболы в вершине: $$p=0$$;
если проходит через выколотую точку, тогда на параболе остаётся только одна общая точка: $$p=-3$$.

б) Упростим выражение:

$$y=\frac{-\frac13x^3+\frac23x^2}{x-2} =\frac{-\frac13x^2(x-2)}{x-2} =-\frac13x^2,\quad x\ne 2.$$

График функции — парабола $$y=-\frac13x^2$$ с выколотой точкой $$\left(2,-\frac43\right)$$.

Прямая $$y=p$$ имеет с графиком ровно одну общую точку, если:

$$p=0$$ — касание в вершине;
$$p=-\frac43$$ — прямая проходит через выколотую точку, и остаётся одна общая точка.

Система неравенств

$$\begin{cases} \frac{3x+1}{3}-\frac{5x+2}{6}\ge \frac{x-3}{12},\\[4pt] \frac{x}{2}+\frac{x}{3}-\frac{x}{4}+\frac{x}{5}\le \frac{47}{120}. \end{cases}$$

Решим первое неравенство:

$$\frac{3x+1}{3}-\frac{5x+2}{6}\ge \frac{x-3}{12}$$

$$\frac{4(3x+1)-2(5x+2)}{12}\ge \frac{x-3}{12}$$

$$12x+4-10x-4\ge x-3$$

$$2x\ge x-3$$

$$x\ge -3.$$

Решим второе неравенство:

$$\frac{x}{2}+\frac{x}{3}-\frac{x}{4}+\frac{x}{5}\le \frac{47}{120}$$

$$\frac{60x+40x-30x+24x}{120}\le \frac{47}{120}$$

$$94x\le 47$$

$$x\le \frac{47}{94}=\frac12.$$

Тогда