Упр.27.5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции $$y=0{,}5x^2$$. С помощью графика найдите: а) значения функции при $$x=-2$$, $$x=4$$; б) значения аргумента, которым соответствует $$y=2$$; в) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $$[-4;3]$$; г) каким промежуткам принадлежит переменная $$x$$, если $$y\in(2;4{,}5]$$.
2. Запишите уравнение параболы $$y=ax^2+m$$, график которой изображён на указанном рисунке: а) рис. 75; в) рис. 77; д) рис. 79; б) рис. 76; г) рис. 78; е) рис. 80.

Функция $$y=0{,}5x^2$$ задаёт параболу с вершиной в точке $$(0;0)$$, ветви направлены вверх. Для построения удобно взять несколько значений аргумента:

$$\begin{array}{c|ccccc} x & -4 & -2 & 0 & 2 & 4 \\ \hline y & 8 & 2 & 0 & 2 & 8 \end{array}$$

По графику получаем:

а) при $$x=-2$$ имеем $$y=2$$, при $$x=4$$ имеем $$y=8$$;

б) значение $$y=2$$ соответствует $$x=-2$$ и $$x=2$$;

в) на промежутке $$[-4;3]$$ наименьшее значение функции равно $$0$$, наибольшее — $$8$$;

г) если $$y\in(2;4{,}5]$$, то

$$2<0{,}5x^2\le 4{,}5$$
$$4<x^2\le 9$$
$$2<|x|\le 3$$

Значит,

$$x\in[-3;-2)\cup(2;3].$$

Для уравнений параболы вида $$y=ax^2+m$$ используем вершину и ещё одну точку графика.

а) Вершина: $$(0;-4)$$, значит, $$m=-4$$. Точка $$(1;-2)$$ принадлежит графику, тогда

$$-2=a\cdot 1^2-4$$
$$a=2$$

Следовательно, $$y=2x^2-4$$.

б) Вершина: $$(0;-2)$$, значит, $$m=-2$$. Точка $$(2;0)$$ принадлежит графику, тогда

$$0=a\cdot 2^2-2$$
$$4a=2$$
$$a=0{,}5$$

Следовательно, $$y=0{,}5x^2-2$$.

в) Вершина: $$(0;2)$$, значит, $$m=2$$. Точка $$(1;3)$$ принадлежит графику, тогда

$$3=a\cdot 1^2+2$$
$$a=1$$

Следовательно, $$y=x^2+2$$.

г) Вершина: $$(0;5)$$, значит, $$m=5$$. Точка $$(2;1)$$ принадлежит графику, тогда

$$1=a\cdot 2^2+5$$
$$4a=-4$$
$$a=-1$$

Следовательно, $$y=-x^2+5$$.

д) Вершина: $$(0;3)$$, значит, $$m=3$$. Точка $$(3;0)$$ принадлежит графику, тогда

$$0=a\cdot 3^2+3$$
$$9a=-3$$
$$a=-\frac{1}{3}$$

Следовательно, $$y=-\frac{1}{3}x^2+3$$.

е) Вершина: $$(0;-1)$$, значит, $$m=-1$$. Точка $$(1;-3)$$ принадлежит графику, тогда

$$-3=a\cdot 1^2-1$$
$$a=-2$$

Следовательно, $$y=-2x^2-1$$.

Ответ

а) $$y=2$$ и $$y=8$$;
б) $$x=-2$$, $$x=2$$;
в) $$y_{\min}=0$$, $$y_{\max}=8$$;
г) $$x\in[-3;-2)\cup(2;3]$$;
а) $$y=2x^2-4$$;
б) $$y=0{,}5x^2-2$$;
в) $$y=x^2+2$$;
г) $$y=-x^2+5$$;
д) $$y=-\frac{1}{3}x^2+3$$;
е) $$y=-2x^2-1$$.