Упр.27.13 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. а) $$\begin{cases} y=0{,}125x^2 \\ y=\sqrt{x} \end{cases}$$

   Точки пересечения графиков: $$x=0,\; y=0$$ и $$x=4,\; y=2.$$

   Следовательно, решение системы: $$(0;0),\ (4;2).$$

2. б) $$\begin{cases} y=-\sqrt{x} \\ y=3x^2 \end{cases}$$

   Графики пересекаются только в начале координат:

   $$(0;0).$$

3. в) $$\begin{cases} y=4|x| \\ y=2x^2 \end{cases}$$

   Точки пересечения:

   $$(-2;8),\ (0;0),\ (2;8).$$

4. г) $$\begin{cases} y=|x| \\ y=\frac14x^2 \end{cases}$$

   Точки пересечения:

   $$(-4;4),\ (0;0),\ (4;4).$$

5. д) $$\begin{cases} y=x+3 \\ y=2x^2 \end{cases}$$

   Решаем уравнение пересечения:

   $$2x^2=x+3$$
   $$2x^2-x-3=0$$
   $$(2x-3)(x+1)=0$$
   $$x=\frac32 \text{ или } x=-1$$

   Тогда

   $$x=-1 \Rightarrow y=2; \qquad x=\frac32 \Rightarrow y=\frac92=4{,}5.$$

   Ответ: $$(-1;2),\ \left(1{,}5;4{,}5\right).$$

6. е) $$\begin{cases} y=0{,}5x^2 \\ y=1{,}5x \end{cases}$$

   Решаем уравнение пересечения:

   $$0{,}5x^2=1{,}5x$$
   $$0{,}5x^2-1{,}5x=0$$
   $$0{,}5x(x-3)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=3$$

   Тогда

   $$x=0 \Rightarrow y=0; \qquad x=3 \Rightarrow y=4{,}5.$$

   Следовательно, решение системы: $$(0;0),\ (3;4{,}5).$$

Ответ

а) $$(0;0),\ (4;2)$$
б) $$(0;0)$$
в) $$(-2;8),\ (0;0),\ (2;8)$$
г) $$(-4;4),\ (0;0),\ (4;4)$$
д) $$(-1;2),\ (1{,}5;4{,}5)$$
е) $$(0;0),\ (3;4{,}5)$$

1. а)

   $$\left(\frac{a}{b^2+ab}+\frac{a-b}{a^2-ab}\right):\left(\frac{b^2}{a^3-ab^2}+\frac{1}{a-b}\right)$$

   Разложим знаменатели на множители:

   $$b^2+ab=b(a+b), \quad a^2-ab=a(a-b), \quad a^3-ab^2=a(a-b)(a+b)$$

   Тогда

   $$\frac{a}{b(a+b)}+\frac{a-b}{a(a-b)}=\frac{a}{b(a+b)}+\frac{1}{a}$$
   $$=\frac{a^2+b(a+b)}{ab(a+b)}=\frac{a^2+ab+b^2}{ab(a+b)}$$

   $$\frac{b^2}{a(a-b)(a+b)}+\frac{1}{a-b} =\frac{b^2+a(a+b)}{a(a-b)(a+b)} =\frac{a^2+ab+b^2}{a(a-b)(a+b)}$$

   Теперь делим дроби:

   $$\frac{a^2+ab+b^2}{ab(a+b)}:\frac{a^2+ab+b^2}{a(a-b)(a+b)} =\frac{a-b}{b}$$

2. б)

   $$\left(\frac{xy-z}{x+z}-\frac{yz+x}{z-x}\right)\cdot \left(\frac{x^2-z^2}{y^2-1}:\frac{x^2+z^2}{y-1}\right)$$

   Так как $$z-x=-(x-z),$$ то

   $$\frac{xy-z}{x+z}-\frac{yz+x}{z-x} =\frac{xy-z}{x+z}+\frac{yz+x}{x-z}$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{(xy-z)(x-z)+(yz+x)(x+z)}{(x-z)(x+z)} =\frac{(y+1)(x^2+z^2)}{x^2-z^2}$$

   Вторая скобка:

   $$\frac{x^2-z^2}{y^2-1}:\frac{x^2+z^2}{y-1} =\frac{x^2-z^2}{(y-1)(y+1)}\cdot\frac{y-1}{x^2+z^2} =\frac{x^2-z^2}{(y+1)(x^2+z^2)}$$

   Перемножаем:

   $$\frac{(y+1)(x^2+z^2)}{x^2-z^2}\cdot \frac{x^2-z^2}{(y+1)(x^2+z^2)}=1$$

Ответ

а) $$\frac{a-b}{b}$$
б) $$1$$