Дополнительная задача 18 Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Найдите значение $$k$$, при котором наибольшее значение функции $$y=\frac{k}{x-3}$$ на отрезке:

а) $$[4;7]$$ равно $$5$$;

б) $$[7;17]$$ равно $$50$$;

в) $$[-7;1]$$ равно $$-5$$;

г) $$[4;7]$$ равно $$-5$$;

д) $$[7;17]$$ равно $$-0{,}5$$;

е) $$[-7;1]$$ равно $$100$$.

Рассмотрим функцию $$y=\frac{k}{x-3}.$$ Это гипербола с вертикальной асимптотой $$x=3.$$

На каждом из данных отрезков функция монотонна, поэтому наибольшее значение достигается на одном из концов отрезка.

1. а) На отрезке $$[4;7]$$ при $$k>0$$ функция убывает, значит, наибольшее значение достигается при $$x=4$$:

   $$5=\frac{k}{4-3}=k,$$

   откуда $$k=5.$$

2. б) На отрезке $$[7;17]$$ при $$k>0$$ функция убывает, значит, наибольшее значение достигается при $$x=7$$:

   $$50=\frac{k}{7-3}=\frac{k}{4},$$

   откуда $$k=200.$$

3. в) На отрезке $$[-7;1]$$ при $$k>0$$ функция убывает, значит, наибольшее значение достигается при $$x=-7$$:

   $$-5=\frac{k}{-7-3}=\frac{k}{-10},$$

   откуда $$k=50.$$

4. г) На отрезке $$[4;7]$$ при $$k<0$$ функция возрастает, значит, наибольшее значение достигается при $$x=7$$:

   $$-5=\frac{k}{7-3}=\frac{k}{4},$$

   откуда $$k=-20.$$

5. д) На отрезке $$[7;17]$$ при $$k<0$$ функция возрастает, значит, наибольшее значение достигается при $$x=17$$:

   $$-0{,}5=\frac{k}{17-3}=\frac{k}{14},$$

   откуда $$k=-7.$$

6. е) На отрезке $$[-7;1]$$ при $$k<0$$ функция возрастает, значит, наибольшее значение достигается при $$x=1$$:

   $$100=\frac{k}{1-3}=\frac{k}{-2},$$

   откуда $$k=-200.$$

Ответ

а) $$5$$; б) $$200$$; в) $$50$$; г) $$-20$$; д) $$-7$$; е) $$-200$$.