Упр.21.14 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Упростите выражение $$\sqrt{10+8\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}}$$.

Упростим выражение по шагам:

$$\sqrt{10+8\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt2}}}$$

1) Сначала упростим внутренний корень:

$$\sqrt{9+4\sqrt2}=\sqrt{8+4\sqrt2+1}=\sqrt{(2\sqrt2+1)^2}=2\sqrt2+1.$$

2) Тогда

$$2+\sqrt{9+4\sqrt2}=2+(2\sqrt2+1)=2\sqrt2+3.$$

3) Теперь найдём следующий корень:

$$\sqrt{2\sqrt2+3}=\sqrt{2+2\sqrt2+1}=\sqrt{(\sqrt2+1)^2}=\sqrt2+1.$$

4) Подставим это в исходное выражение:

$$10+8\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt2}}=10+8(\sqrt2+1)=18+8\sqrt2.$$

5) Осталось вычислить внешний корень:

$$\sqrt{18+8\sqrt2}=\sqrt{16+8\sqrt2+2}=\sqrt{(4+\sqrt2)^2}=4+\sqrt2.$$

Ответ

$$4+\sqrt2$$